С. И. МИТРОХИН
Асимптотика собственных значений и регуляризованные следы одного
дифференциального оператора с разрывной весовой функцией
Известно (см.[1]), что колебания стержней и балок, составленных из материалов различной плотности, приводят к изучению краевых задач типа задачи Штурма-Лиувилля, с разрывными коэффициентами и с разрывной весовой функцией.
В данной статье будем изучать следующую задачу: найти собственные значения и вычислить регуляризованные следы для дифференциального оператора, заданного дифференциальным выражением вида:
(1)
с условиями «сопряжения» вида:
(2)
с граничными условиями вида 
. (3)
Будем предполагать, что весовая функция и потенциал удовлетворяют следующим условиям гладкости:
.
Пусть 
- фиксированная ветвь (выберем её условием 
, 
. Тогда общие решения уравнений (1) имеют вид:
(4)
(5)
(6)
(7)
причём в формулах (4)-(7) коэффициенты разложений имеют вид
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Идею нахождения асимптотики решений уравнения (1) в виде формул (4)-(12) мы почерпнули в монографиях [2] и [3].
Для получения формул (8)-(12) надо подставить формулы (4)-(7) в уравнение (1) и после необходимых сокращений приравнять коэффициенты при одинаковых степенях 
.
Обозначим через 
определитель Вронского линейно независимых решений 
и 
первого из дифференциальных уравнений (1), а через 
определитель Вронского линейно независимых решений 
и 
второго из дифференциальных уравнений (1):
(13)
Легко доказать, что эти определители не зависят от переменной 
:
, 
,
(14)
Формулы (14) можно вывести и непосредственно, исходя из формул (13) и используя формулы (4)-(12).
Перейдём к изучению условий «сопряжения» (2).
Из условий «сопряжения» (2) следует, что
откуда по формулам Крамера получаем: 
(15)
где 
, а определители 
находятся по следующим формулам:
(16)
а их конкретные асимптотики можно найти, используя формулы (4)-(12):
(17)
Перейдём к изучению граничных условий (3).
Из первого граничного условия 
в силу формул (4), (8), (9) получаем:
(18)
Из второго граничного условия 
в силу формул (6), (10), (11), (15)-(18) получаем: 
(19)
Уравнение (19) является уравнением на собственные значения краевой задачи (1)-(3). Подробнее уравнение (19) можно переписать, используя формулы (4)-(12), (17), в следующем виде:
Функция 
, находящаяся слева в данном уравнении, является целой функцией класса К, введённая в работе [4]. Следуя этой работе, находим асимптотику корней уравнения 
, т. е. находим асимптотику собственных значений краевой задачи (1)-(3).
Теорема. При 
справедливы следующие асимптотики:
(20)
где коэффициенты 
, 
имеют следующий вид:
(21)
(22)
.
Формулы (20)-(22) подтверждают известные формулы (см. [5] и ссылки в ней) в случае следующих предельных переходов: 
и 
Также аналогично работам [5] и [4] можно вычислить формулы регуляризованных следов дифференциального оператора (1)-(3).
Аналогично работам [6] и [7] можно изучить аналогичные вопросы для случая суммируемых потенциалов: 
почти всюду для всех 
,
почти всюду для всех 
.
Литература.
1. , Самарский математической физики. – 5-е
изд. – М.: Наука, 1977. – 736 с.
2. Федорюк методы для линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1983. – 352 с.
3. Наймарк дифференциальные операторы. – 2-е изд. – М.:
Наука, 1969. – 526 с.
4. , Садовничий формулы для корней
одного класса целых функций //Матем. сб. – 1968. – Т. 75. - № 4. – С. 558-
566.
5. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных
операторов второго порядка с разрывной положительной весовой
функцией //ДАН РАН. – 1997. – Т. 356. - № 1. – С. 13-15.
6. О формулах следов для одной краевой задачи с
функционально-дифференциальным уравнением с разрывным
коэффициентом //Дифференциальные уравнения. – 1986. – Т. 22 - № 6. –
С. 927-931.
7. , Садовничий любого порядка
собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-
Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом //Известия РАН. Серия
математическая. – 2000. – Т. 64. - № 4.- С. 47-108.
