Лекция 1.
Метрические пространства
Определение. Метрическим пространством называется произвольное множество R некоторых элементов, называемых точками, в котором для любых двух точек х,yÎR определено число r(х, у) - расстояние от х до у (метрика) так, что выполняются следующие условия (аксиомы):
1. r(х, у)= r(у, х) для любых х и у (аксиома симметрии);
2. r(х, у) > 0 при х ¹ у, r(х, х)=0 для любого х (аксиома тождества);
3. r(х, у) + r(у,z) ³ r(х,z) (аксиома треугольника).
Так, например:
1) пространство, составленное из непрерывных функций у = у (х), определенных на сегменте [a,b], при условии
r (y1, y2) = max | y1 (х) – у2 (х) |
xÎ[a,b]
является метрическим пространством. Условимся впредь
обозначать это пространство С [а, b] или С;
2) множество точек земной поверхности в горной местности, расстояние между которыми определяется промежутком времени движения путешественника от точки к точке, метрическим пространством не будет, так как здесь не будет выполняться аксиома симметрии.
Очевидно, что имея одно множество и метризуя его разными способами (определяя расстояние между элементами множества по-разному), мы получим различные метрические пространства.
Пример.
Пространство L2 есть множество всех функций x(t), определенных на сегменте [а, b], для которых существует интеграл:
,
метрика в L2 определяется формулой
.
Выполнение аксиом метрики очевидно.
Всякое подмножество R1 метрического пространства R в свою очередь является метрическим пространством с той же метрикой, что и в R.
Определение. Последовательность х1, х2, ..., хп, точек метрического пространства R имеет своим пределом точку аÎR: 
,
если числовая последовательность r(х1,а) , r(х2,а), ... сходится к нулю:
.
Полнота метрических пространств
Определение 1. Последовательность {xn } точек метрического пространства R называется фундаментальной, если r(хт, хп) → 0 при т, п→ ¥.
Определение 2. Метрическое пространство R называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится, т. е. если для каждой фундаментальной последовательности существует такая точка х0ÎR, что 
.
Теорема 1. Для сходимости последовательности точек полного метрического пространства необходима и достаточна ее фундаментальность.
Доказательство.
Докажем сначала необходимость.
Пусть {хп} → х0ÎR. Тогда для любого сколь угодно малого e> 0 найдется такое N, что для всех т, n>N будут выполняться неравенства:
r(хп,х0) < e/2,
r(хm,х0) < e/2.
Складывая эти неравенства и применяя аксиому треугольника, получаем:
r(хп,хт) £ r(хп,х0) + r(хт,х0) < e.
Достаточность следует из определения 2.
Все рассмотренные ранее метрические пространства полны.
Понятие полного метрического пространства лежит в основе методеа сжатых отображений, который находит большое применение в математическом анализе, алгебре, теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Пример.
Пусть необходимо решить уравнение
f(x) = x
на отрезке [a, b].
Проведем сжатие отрезка. Каждой точке х, принадлежащей сегменту [a, b] мы ставим в соответствие некоторую точку f(x)Î [a, b], которая является отображением точки х.
При этом его концы переместятся в новые точки a1 и b1. Затем точки, занимавшие положение a1 и b1 переместятся в положение a2 и b2 и т. д. Интуитивно можно предположить, что на сегменте [a, b] существует точка с, которая при его сжатии останется неподвижной.
Неподвижная точка, если она существует, удовлетворяет равенству
f(x) = x.
Аналитическая геометрия на плоскости.
Аналитическая геометрия – область математики, изучающая геометрические образы аналитическими методами. Математическим аппаратом аналитической геометрии является метод координат, разработанный в XVII в. французским математиком Р. Декартом. В основе данного метода лежит понятие системы координат. Рассмотрим прямоугольную (декартову) и полярную системы координат.
Прямоугольная система координат.
Две взаимно перпендикулярные оси Ох и Oy , имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат на плоскости.
Ось Ох называется осью абсцисс, ось Oy – осью ординат, а обе оси вместе – осями координат. Точка О пересечения осей называется началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ох и Oy, называется координатной плоскостью и обозначается Охy.
Пусть М – произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ на оси Ох и Oy.
Прямоугольными координатами х и y точки М будем называть соответственно величины ОА и ОВ направленных отрезков 
и 
: х = ОА, y = OB.
Координаты х и y точки М называются, соответственно, ее абсциссой и ординатой. Обозначение: М(х;y). Начало координат имеет координаты (0;0).
Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке М плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел (х;y) – ее прямоугольные координаты, и, обратно, каждой паре чисел (х;y) соответствует одна и только одна точка М плоскости Охy такая, что ее абсцисса равна х, а ее ордината равна y, т. е. введение прямоугольной системы координат на плоскости позволяет установить взаимно – однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством упорядоченных пар чисел.
Оси координат разбивают плоскость на 4 части, которые называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV.
Рассмотрим две произвольные точки плоскости М1 и М2. Опустим из этих точек перпендикуляры М1В и М2А соответственно на оси Оy и Ох. 
Обозначим через К точку пересечения прямых М1В и М2А. Точка К имеет координаты (x2;y1). Длина отрезка М1К равна ïx2 – x1ï, а длина отрезка М2К равна ïy2 – y1ï. Так как треугольник М1КМ2 – прямоугольный, длина d отрезка М1М2 вычисляется по формуле
(1).
Таким образом, на плоскости можно ввести метрику, определяемую формулой (1), которая удовлетворяет всем аксиома метрического пространства.
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть на плоскости дан произвольный отрезок М1М2 и М – любая точка отрезка, отличная от точки М2.
Число l, определяемое равенством
называется отношением, в котором точка М делит отрезок М1М2. Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению l и данным координатам точек М1 и М2 найти координгаты точки М.
Теорема 2.
Если точка М(х;y) делит отрезок М1М2 в отношении l, то координаты этой точки определяется формулами
Доказательство.
Пусть прямая М1М2 не перпендикулярна оси Ox. Опустим перпендикуляры из точек М1 , М, М2 на ось Ox и обозначим точки их пересечения с осью соответственно через Р1, Р и Р2. На основании теоремы элементарной геометрии о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми, имеем
.
Но ïР1Рï= ïх – х1ï, ïРР2ï= ïх2 – хï.
Числа (х – х1) и (х2 – х) одного знака: положительны при х1 < x2 и отрицательны в противоположном случае. Следовательно,
Отсюда
.
Если прямая М1М2 перпендикулярна оси Ох, то х1 = х2 = х, и полученная формула также является верной.
Вторая формула теоремы доказывается аналогично.
