Гр БУП-14
Переписать в лекции.
Конспект лекций по числовым рядам
Числовые ряды
Определение: Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:
числовым рядом называется выражение 
, где
– общий член ряда.
Пример:
-знакоположительный ряд
-знакочередующийся ряд
Последовательность 
, где
;
;
- последовательность частичных сумм ряда.
Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.
Числовой ряд 
называется сходящимся, если существует конечный
, то ряд называется расходящимся и суммыSне имеют.
1)Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии.
,где n – частичная сумма ряда 
- сумма n первых членов геометрической прогрессии.
Рассмотрим 3 случая:
1) 
геометрическая прогрессия убывающая.
сходится и имеет сумму 
2)
3) 
= не существует – ряд расходится.
Вывод: ряд из членов геометрической прогрессии сходится если 
и расходится
Признаки сходимости
Необходимый признак сходимости:
Если сходится, то общий член 
Необходимый признак сходимости неудобен на практике, т. к по поведению общего члена Unна бесконечности нельзя судить о сходимости ряда.
На практике удобно пользоваться достаточным признаком расходимости ряда:
Если Un не стремится к 0 при n
то 
Примеры:
1)
найдите предел. Докажите что ряд расходится
Числовые ряды с положительными членами
Рассмотрим знакоположительный числовой ряд 
, где
.Последовательность частичных сумм такого ряда будет всегда возрастающей:
1й признак сравнения
Дано 2 ряда с положительными членами(1) и 
(2) и начиная с некоторого номера N выполняется неравенство 
, тогда если (2)сходится то и (1) сходится. Если (1) расходится то и (2) тоже расходится, (ряд меньший сходящегося тоже сходится, ряд больший расходящегося тоже расходится).
Доказательство: Обозначим через 
-n – частичная сумма 1 ряда и 
-n – частичная сумма 2 ряда.
Т. к 
. Пусть 2 ряд сходится, тогда
,причём 
ограничена сверху числом
(1)сходится.
Пусть 1 ряд расходится 
, т. к 
расходится.
:
Ряды для сравнения: | |
Ряды членов геометрической прогрессии:
| Обобщенно гармонический ряд:
|
IIризнак сравнения (предельный)
Дано 2 ряда с положительными членами(1) и (2) и 
-число 
(1) и (2)сходятся и расходятся одновременно.Признак сходимости Даламбера
Дан ряд с положительными членами и
Если 
- сходиться
Если 
- расходиться
Если 
- вопрос о сходимости не решен.
Радикальный признак Коши.
Дан ряд с положительными членами и 
Если 
- сходиться
Если 
- расходиться
Если 
- вопрос о сходимости не решен
2) 
Знакочередующиеся числовые ряды
Ряд вида 
, гдеUn>0 называется знакочередующимся числовым рядом. Un – общий член. Положительный и отрицательный член ряда чередуются по знакам через один.
Для знакочередующихся числовых рядов справедлива теорема Лейбница – достаточное условие сходимости такого ряда.
Для знакопеременного ряда справедлива следующая теорема:
Пусть - знакопеременный числовой ряд. Ряд из 
- соответствующий ему ряд из модулей.
Если 
сходится то и тоже сходится.
Определение: Дан знакопеременный числовой ряд Если ряд из модулей
-сходится, то знакопеременный ряд называетсяабсолютно сходящимся. Если - расходится, а ряд все таки сходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.
При исследовании знакопеременного ряда на абсолютную сходящимость нужно проверить следующие условия:
1), если не стремится то ряд расходится и исследование окончено.
2)На абсолютную сходимость 
Домашнее задание :Переписать и выучить лекцию. Знать основные определения. Виды рядов. Основные и необходимые признаки сходимости рядов.
