Задача №1- 3

Дано. ABCD - трапеция

A=8 , b=6 , R=5.

Найти. AB, СD, площадь ABCD, h1, h2.

1случай. Решение.

ABCD - равнобедренная трапеция. Из Δ ОАН2 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=2 Аналогично из ΔОВН1 ОН1=4, тогда Н1 Н2 =1.

АК=1 Из ΔАВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ=.

Sтр=h=1=7

2случай.

ABCD - равнобедренная трапеция. Из ΔODH2 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=3 ,из ΔОСН1 прямоугольного по теореме Пифагора ОН2=4, тогда Н1 Н2=7

АК=1 Из ΔАВК прямоугольного по теореме Пифагора АВ=.

Sтр=h= ·7=49.

Ответ:

Н1 Н2

АВ

Sтр

1

7

7

49

Задача № 4

Найдите угла А, В, С и D трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция,

ВС=6, AD=8

Найти:

Решение:

Из вершины опустим высоту .

Из задачи 1 следует, что .

По свойству равнобедренной трапеции .

Так же по свойству равнобедренной трапеции .

Рассмотрим - прямоугольный. По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника получим:

По условию задачи трапеция вписана в окружность. Следовательно, .

Ответ:

Задача № 5

Найти диагонали трапеции.

Дано: –трапеция, . Найти: .

Решение:

По свойству равнобедренной трапеции .

Рассмотрим – прямоугольный. По теореме Пифагора

Ответ:

Задача № 6

Найти угол между диагоналями трапеции.

Дано: –трапеция,

.

Найти: .

Решение:

Пусть

Площадь трапеции можно найти по формуле:

По свойству равнобедренной трапеции Следовательно, формула принимает вид:

Из задачи 3 известно, что Составим и решим уравнение:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ответ:

Задача №7

Найти длину отрезка МN, параллельного АD, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции.

Решение:

Длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции, параллельно основаниям, есть среднее гармоническое оснований трапеции.

Значит, МN =, где и основания трапеции МN===6

Ответ: 6

Задача №8

Найти длину отрезка средней линии трапеции АВСD, заключенного между диагоналями (длину отрезка ЕF).

Решение:

В треугольнике АСD ЕN – средняя линия ЕN АD и ЕN=АD.

В треугольнике ВСD FN – средняя линия FN ВС и FN=ВС. Тогда ЕF= ЕN - FN=( АD - ВС)

Значит, длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности оснований.

Длина отрезка равна =1

Ответ: 1

Задача №9

В каком отношении отрезок МN делит площадь трапеции (вычислить ).

Решение:

=, где ивысоты трапеций MNCB и ADNM соответственно. Так как , то =.

Значит, ==

Ответ: .

Задача №10.

Найти высоту треугольника ADF, где F – точка пересечения продолжений боковых сторон.

Решение: 1 способ.

Рассмотрим прямоугольный

=

Ответ: 28

2 способ.

Треугольники и подобны по двум углам (угол -общий, угол равен углу как соответственные углы при параллельных прямых и ).

Значит, , где .

Пусть = , тогда = +7 (= 7 из задачи № 1)

=21. Значит,

Ответ:28

Задача №11

Известны длины оснований a=8 см и b=6 см вписанной в окружность трапеции АВСD, ВС||АD и радиус окружности R=5 см. Найдите площади четырех треугольников, на которые делят диагонали трапецию.

Дано: АВСD - трапеция,

ВС||АD

основания 8 см и 6 см

R=5

Найти S треугольников, на которые диагонали делят трапецию

Решение:

1. Δ ВОС подобен Δ АОD по двум углам (ВОС = СОD (вертикальные), ОВС = ОDА (накрест лежащие при параллельных прямых (ВС и АD) и секущей ВD).

k = 4/3

Отношение S подобных треугольников равно k2

Обозначим S Δ ВОС за х, тогда S Δ АОD = 16/9х

S Δ ВОА = S Δ СОD = 4/3х (см. БЗ 2.8)

2. S Δ АВСD = 1/2* (8+6)*7=49

S Δ АВСD = S Δ ВОА+ S Δ АОD + S Δ ВОС +S Δ СОD

х+ 16/9х+4/3х+4/3х = 49

х= 9 см2 - S Δ ВОС

S Δ АОD = 16/9*9=16 см2

S Δ ВОА = S Δ СОD = 4/3*9=12 см2

Ответ: 9 см2, 16 см2 , 12 см2

Задача №12

а) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две равновеликие трапеции.

Дано: АВСD - трапеция,

ВС|| АD

основания 8 см и 6 см

Найти: длину MN

Решение:

Согласно БЗ2.12 MN = = 4 см

б) Найдите длину отрезка, .параллельного основаниям трапеции, который делит трапецию на две подобные трапеции.

Дано: АВСD - трапеция,

ВС|| АD

основания 8 см и 6 см

Найти: длину MN

Решение:

Согласно БЗ2.11 MN = = 5см

Задача №13

Можно ли в трапецию вписать окружность?

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. (БЗ2.5)

Проверим АВ + СD = ВС + АD,

8 см + 6 см 5см+5см

В данную трапецию окружность вписать нельзя.