Степновский район
Школьный этап всероссийской олимпиады школьников
2016/17 учебного года
Математика
Задания, ответы, критерии оценивания
1. Найдите среди чисел вида 3а + 1 первые три числа, которые кратны 5.
Ответ: 10, 25, 40.
2. Малыш может съесть 600 г варенья за 6 минут, а Карлсон – в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?
Решение: 600:6 = 100(г) – съест Малыш за 1 минуту.
6 : 2 = 3 (мин) за такое время съест варенье Карлсон.
600:3 = 200 (г) съест Карлсон за 1 минуту.
100 + 200 = 300(г) могут съесть вместе варенье Малыш и Карлсон.
600 : 300 = 2(мин) ) за такое время съедят вместе варенье Малыш и Карлсон.
Ответ: 2 минуты.
3. Парусник отправляется в плавание в понедельник в полдень. Плавание будет продолжаться 100 часов. Назовите день и час его возвращения в порт.
Решение: В сутках 24 часа, поэтому 100ч = 4 * 24ч + 4 ч = 4 сут. + 4 ч. Поэтому парусник вернется в пятницу в 16 часов.
4. Восстановите запись:
*2*3
**
***87
*****
2*004*
Ответ: 7243
29
65187
14486
210047
5. Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном – просо, в другом – мак, а в третьем – еще не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них приклеила таблички: «Мак», «Просо», «Смесь». Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная запись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зернышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит. Как она это сделала?
Решение: Золушка взяла зернышко из мешка с надписью «Смесь». Так как ни одна табличка не соответствовала содержимому мешка, то там был мак или просо. Если взятое Золушкой зернышко – мак, то в мешке с надписью «Смесь» - мак, тогда в мешке с надписью «Мак» - просо, а в мешке с надписью «Просо» - смесь.
1.
Ответ: Б
2. На некотором острове необычайно регулярный климат: по понедельникам и средам всегда идут дожди, по субботам - туман, зато в остальные дни - солнечно. Утром какого дня недели нужно начать свой отдых группе туристов, если они хотят пробыть там 44 дня и захватить при этом как можно больше солнечных дней?
Решение: Выясним, сколько полных недель в 44 днях. Получим 6 недель. В течении этих недель число солнечных дней не зависит от того, когда начнется отдых. В качестве оставшихся двух дней выбираем четверг и пятницу - солнечные дни. Следовательно, отправляем туристов утром в четверг. То есть верный ответ: С.
3. У двузначного числа "n" цифра десятков в два раза больше, чем цифра единиц. Тогда число "n" обязательно:
A) четное; B) нечетное; C) меньше 20; D) делится на 3; E) делится на 6.
Решение: Ищем число "n" среди ряда чисел: 10 - 99. По условию, у всех подозреваемых чисел - десятки четны (2,4,6,8), а единицы - в два раза меньше (1,2,3,4,). Перечислим все эти числа: 21, 42, 63, 84. Все они делятся на 3. Следовательно, верен ответ: D.
4. Сколько воды надо добавить к 600 г жидкости, содержащей 40% соли, чтобы получился 12 % - ый раствор этой соли?
Решение: 1) 600:100 ∙ 40 = 240 (г) – количество соли в 600 г жидкости
2) 240:12 ∙ 100 = 2000 (г) – будет 12 % -ый раствор этой соли
3) 2000 – 600 = 1400 (г) – воды надо добавить
Ответ: 1400 г.
5. Разместите 8 козлят и 9 гусей в 5 хлевах так, чтобы в каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10.
Решение: Количество гусей в 1 хлеве – х. Число козлят – у.
Так как число ног в 1 хлеве должно равняться 10, то 2х + 4у = 10.
Методом подбора:
х = 3 и у = 1
х = 1 и у = 2
Значит в 2-х хлевах будет по 1 козленку и 3 гусям, в 3-х хлевах – по 2 козленка и 1 гусю.
1.Таня и Ваня ели арбуз. Таня съела половину трети от четверти арбуза, а Ваня – четверть половины от трети арбуза. Кто съел больше арбуза?
Решение. Они съели поровну, так как 
2.На часах половина девятого. Чему равен угол между часовой и минутной стрелками?
Ответ: 75о.
Решение.
В момент, когда часы показывают половину девятого, минутная стрелка указывает на цифру 6, а часовая на середину дуги между цифрами 8 и 9 (см. рисунок). Если из центра часов провести два луча к соседним цифрам циферблата, то между ними будет угол 360о:12=30о. Угол между стрелками часов, когда они показывают половину девятого, в два с половиной раза больше. Следовательно, он равен 75о. |
|
3.Ковбой Билл зашел в оружейную лавку и попросил у продавца кольт за 3 доллара и шесть коробок патронов, цену которых он не знал. Продавец потребовал с него 11 долларов 80 центов (1 доллар = 100 центов), и в ответ на это Билл вытащил револьвер. Тогда продавец пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл понял, что продавец пытался его обсчитать?
Решение. Сколько бы ни стоили патроны, общая сумма, которую должен заплатить Билл, должна делиться на 3: цена кольта делится на 3, и цена шести коробок патронов тоже делится на 3, даже если цена одной коробки на 3 не делится. Продавец, однако, назвал общую сумму не кратную 3. Значит, сумма была подсчитана неверно.
4. Квадрат со стороной 4 см разрежьте на 5 прямоугольников с периметром 8 см. (Любой квадрат также является прямоугольником).
Решение.
Получается 4 прямоугольника со сторонами 1 см и 3 см, расположенные вдоль сторон квадрата, а также квадрат со стороной 2 см, расположенный внутри большого квадрата |
|
5.В музее 16 залов, расположенных, как показано на рисунке. В половине из них выставлены картины, а в половине – скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами – зал со скульптурами – зал с картинами и т. д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б. |
|
a) Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины.
б) Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б), но при этом в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть? Нарисуйте какой-нибудь его маршрут наибольшей длины и докажите, что большее количество залов он посмотреть не мог.
а) Решение. Смотрите рисунок
б) Ответ: 15.
Решение.
Один из возможных маршрутов показан на рисунке. Докажем, что если турист хочет побывать в каждом зале не больше одного раза, он не сможет посмотреть больше, чем 15 залов. Заметим, что маршрут начинается в зале с картинами (А) и заканчивается в зале с картинами (Б). Значит, число залов с картинами, которые прошел турист на один больше числа залов со скульптурами. Так как залов с картинами, которые мог пройти турист не больше 8, то залов со скульптурами – не больше 7. Итак, маршрут не может проходить больше чем через 15 залов. |
|
1. Какой цифрой оканчивается сумма 
?
Ответ: Нулём.
Решение: 
.
2. Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. Когда поезд отъезжал, каждый из них насчитал еще несколько скамеек, причем один из них насчитал в три раза больше, чем другой. А сколько насчитал третий?
Ответ: 7 скамеек.
Решение: Очевидно, что тот, кто до остановки проехал большую часть перрона, насчитал большее число скамеечек. Пусть первый насчитал 15 скамеек, второй 12, третий 7. Так как первый насчитал на 3 скамейки больше, чем второй, то, когда поезд будет отъезжать, второй увидит эти 3 скамейки, т. е. насчитает на 3 скамейки больше, чем первый. Аналогично третий насчитает на 8 скамеек больше, чем первый, и на 5 скамеек больше, чем второй. Раз кто-то насчитал в 3 раза больше, чем другой, то разница между насчитанными ими скамейками – четное
число (3x-x=2x). В нашем случае разность насчитанных скамеек четна только между первым и третьим и она равна 8. Значит, первый насчитал 8:2=4 скамейки, тогда второй 4+3=7 скамеек.
Замечание: Можно было обойтись и без четности. Пусть первый насчитал x скамеек. Тогда второй x+3, а третий x+8. А дальше составить всевозможные пары и решить получившиеся три уравнения (один насчитал в три раза больше, чем другой в паре): 3x=x+3, 3x=x+8, 3(x+5)=x+8. Только одно из них имеет целое решение.
3. Найдите 3 числа, обладающие следующими свойствами: они целые, положительные и сумма обратных величин этих чисел равна 1.
Ответ: (2; 4; 4), (2; 3; 6), (3; 3; 3)
4. Фирма изготавливает лимонный напиток, разбавляя лимонный сок водой. Сначала фирма производила напиток, содержащий 15% лимонного сока. Через некоторое время генеральный директор отдал указание снизить содержание лимонного сока до 10%. На сколько процентов увеличится количество производимого лимонного напитка при тех же объёмах поставок лимонов?
Ответ: На 50%.
Решение: 1 способ. Содержание лимонного сока в напитке после указания генерального директора снизилось в полтора раза. Значит, из тех же лимонов можно приготовить в полтора раза больше лимонного напитка. Иными словами, количество производимого лимонного напитка увеличится в полтора раза или на 50%.
2 способ. Пусть х – количество производимого напитка до указания генерального директора. Тогда количество лимонного сока в этом напитке – 0,15·х. Пусть теперь у – количество производимого напитка после указания генерального директора. Тогда количество лимонного сока в этом напитке – 0,1·у. Так как подразумевается, что количество лимонного сока не изменилось, получаем равенство 0,15·х = 0,1·у. Умножив обе части этого равенства на 10, получим: у = 1,5·х; или: у = х + 0,5·х. Значит, количество производимого напитка увеличилось на 50%.
5. Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.
Доказательство:
Пусть ABC — данный треугольник, 
B = α, 
A = 120° + α . Тогда C = 60° - 2α . Если CL — биссектриса данного треугольника, то CLA = LCB + LBC = (30° - α) + α = 30°. Пусть CH - высота треугольника АВС, тогда в треугольнике CLH катет CH, лежащий против угла в 30°, в два раза меньше, чем гипотенуза CL.
1. В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.
Решение:
Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ΔАСМ - равносторонний. Но это значит, что ΔАОD и ΔВОС - тоже равносторонние.
Отсюда непосредственно следует, что ΔАОВ = ΔСОD, откуда имеем, что AB = CD.
2. Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?
Решение: Просчитав несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по ½ л воды.
3. Решите неравенство : 
Решение: Заметим, что все решения исходного неравенства существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.
4. Решите уравнение : x2 + 2005x – 2006 = 0.
Решение: Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1= 1, то x2 = -2006.
5. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?
Решение: Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.
1. Найдите сумму корней всех квадратных трехчленов вида
,где p принимает все целые значения от -100 до 100.
Решение: Поскольку 
для любого p, то все трехчлены имеют два корня. Заметим, что по теореме Виета, сумма всех корней трехчлена 
равна –p, т. е. сумма корней всех написанных трехчленов равна
(-100)+(-99)+(-98)+…+98+99+100=0.
2. Цифры трехзначного числа образуют геометрическую прогрессию с разными членами. Если это число уменьшить на 200 , то получится трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию. Найдите первоначальное трехзначное число.
Решение: Трехзначные числа с разными цифрами, образующими геометрическую прогрессию легко найти с помощью перебора: 124, 421, 139, 931, 248, 842, 469, 964.
3. Найти площадь выпуклого четырехугольника ABCD, у которого AC=2, BD=1, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны.
Решение:
 |
EF – средняя линия треугольника ABC, значит EFAC. HG- средняя линия треугольника ADC, значит HG AC, но тогда EF HG. Аналогично доказываем, что EH FG. Следовательно, EFGH - параллелограмм. Но по условию EG=HF, значит, EFGH – прямоугольник, то есть HG FG, а тогда BD AC. Получилось, что диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, следовательно,
.
4. Решите систему уравнений:
Решение: Сложив все три уравнения системы, получим уравнение, из которого найдем. Подставляя вместо.
Ответ: (2;4;6), (-2;-4;-6).
5. Каждый юноша из 11 «а» класса написал не более двух записок разным девушкам – одноклассницам, но каждая девушка из 11 «а» получила не менее трех записок от разных юношей – одноклассников. Кого в 11 «а» больше юношей или девушек?
Решение: Пусть N-количество юношей, M-количество девушек в классе, а P-общее количество записок. Тогда P, значит, , то есть юношей в 11 «а» больше, чем девушек.
