Решения

Решения.

1.  Вычтем из числа y число x:

,

так как , то ; а , то ; следовательно

Вычтем из y z:

,

так как , то ; из того что , следует что ; следовательно

Таким образом:

2.  Пусть n – натуральное, тогда 3 последовательных нечётных числа можно представить следующим образом: , , .

Из условия задачи следует:

.

Упрощая, получаем:

.

Следовательно, число должно делится на 12 без остатка (сумма цифр числа кратна числа 3, остаток при делении числа на 100 делится на 4 без остатка). Перебирая, получаем

3.  Обозначим точку пересечения прямой l с боковой стороной AB как M, точку пересечения прямой l с боковой стороной CD – N. Проведём параллельно боковой стороне AB от точки C отрезок CF (F лежит на отрезке AD).

Обозначим длину отрезка MN за x. Тогда EN = x – 7 (так как ME = BC = 7), FD = 23 – 7 = 16.

Заметим, что (по трём углам). Коэффициент подобия . Тогда пусть высота CH = h, тогда .

Из условия следует, что . Таким образом, получаем . Представив площадь трапеции как полусумму оснований трапеции умноженную на высоту трапеции, получаем:

,

,

,

(так как ).

Таким образом, длина отрезка MN равна 17.

Воспользуемся общей формулой бинома Ньютона для того, чтобы найти значение коэффициента перед в первом и втором уравнении. Для первого уравнения получаем:

.

4.  Заметим что в представлении , где , – целые неотрицательные числа, получается при , ; , ; , . Таким образом, коэффициент при в данном уравнении будет равен .

Рассмотрим второе уравнение:

.

С учётом ранее выявленных пар значений , , перед получается следующий коэффициент: .

Очевидно, коэффициент перед в первом уравнении на больше, чем коэффициент перед во втором уравнении.

5.  Так как p – простое и , правая часть равенства будет содержать чётное количество слагаемых. Разобьём все слагаемые на пары следующим образом:

И приведём полученные пары слагаемых к общему знаменателю:

.

Приведём к общему знаменателю сумму аликвотных дробей (в скобочках). Получаем:

.

Здесь – некоторое натуральное значение. Вернёмся к исходному равенству:

.

Так как p – простое, то это значение не может делиться ни на одну комбинацию множителей , а, следовательно, . Таким образом, . Что и требовалось доказать.