Как я учу решать текстовые задачи

Андрей Тоом [1]

Как я учу решать текстовые задачи

Перевод с английского и А. Тоома

Аннотация. В статье говорится, как автор учит первокурсников университета решать текстовые задачи, и как это способствует их интеллектуальному развитию.

Ключевые слова: текстовые задачи, школа, университет, естественный язык.

Насколько я помню, текстовые задачи всегда присутствовали в математическом образовании в России. Никто не подвергал сомнению их важность в обучении, и никто не считал их особенно сложными. Уже в начальной школе дети решают некоторые простые задачи. С годами задачи становятся все сложнее. В результате выпускники многих средних школ имеют достаточный опыт в решении задач, так что университеты могут идти дальше. Это всегда было справедливо и для нероссийских частей СССР и некоторых других стран. Естественно, что, когда я стал взрослым и сам начал преподавать, я использовал текстовые задачи в большом количестве. Теперь, более чем когда-либо, я уверен, что умение решать простые текстовые задачи практически совпадает с основами математической грамотности. Помимо простых, есть гораздо более сложные текстовые задачи, так что вы можете сильно способствовать развитию своих учеников, ведя их от элементарных к более сложным задачам, а от них -- к профессиональной математике. Простые текстовые задачи еще более полезны тем, кто никогда не станет профессиональным математиком.

С тех пор, как я приехал в Америку, я каждый год преподавал на университетском уровне. Хотя сейчас я не преподаю на школьном уровне, я не могу не видеть, как подготовлены мои студенты. Многие из моих теперешних студентов, похоже, имеют весьма мало опыта в решении задач в школе, так что мне приходится восполнять этот пробел. Более того, я обнаружил, что даже простые текстовые задачи считаются здесь трудными. Например, Милдред Джонсон, посвятившая очень полезную книгу (1) подробным объяснениям, как решать простейшие текстовые задачи, пишет в предисловии: «Нет области в алгебре, вызывающей у учащихся больше затруднений, чем решение текстовых задач». Так что я решил описать, как я преподаю текстовые задачи в курсе «колледж-алгебры» в Университете Воплощенного Слова. (Колледж-алгебра — это первый курс математики университетского уровня в нашем университете.)

Я прихожу в класс с солидным запасом мела и губок. Во время занятия я приглашаю к доске по четыре студента одновременно и диктую задачу всем четверым сразу. Все четыре задачи одинаковые, кроме одного параметра. Например, я говорю им:

Задача 1. У Мэри в копилке сто монет, некоторые по десять центов, остальные по 25 центов. Всего у нее...

Пока студенты пишут это, я соображаю, что, если бы все монеты были по десять центов, то у Мэри было бы десять долларов. Если некоторые десятицентовики заменить на монеты по 25, ее капитал увеличивается кратно 15 центам. Итак, я продолжаю, обращаясь к каждому из студентов по очереди: ...тринадцать, шестнадцать, девятнадцать, двадцать два доллара. Сколько у Мэри монет по десять центов и сколько по двадцать пять центов?» Очень скоро студенты понимают, чего я хочу, и почти не тратят времени на то, чтобы записать это правильно.

Я говорю студентам, что когда они находятся у доски, они «учителя» и должны стараться писать разборчиво, чтобы другие их поняли. Если студент использует переменную, скажем Х, я требую написать, что это Х значит. Для некоторых это трудно, и эта трудность очень полезна, поскольку заставляет их думать четче. Иногда я прошу объяснить решение вслух громким голосом, адресуясь к аудитории. (В противном случае, они склонны шептать, обращаясь ко мне или к доске.) Я также говорю им, что только во время контрольных общаться запрещено, во всех других случаях они могут и должны помогать друг другу. Например, если студентка у доски в растерянности, её подруга идет к ней на помощь, и этот опыт полезен им обеим. В силлабусе [2] я написал: «Вы должны понимать, что учеба — не соревнование. Успех другого студента — не ваш провал, и провал вашего товарища — не ваш успех».

Решение обычно занимает от пяти до десяти минут. Каждый из оставшихся на местах должен выбрать одну их четырех версий и работать над ней в то же время. Они делают это охотно, потому что знают, что я разрешу им пользоваться этими записями во время контрольных. Я говорю им: «Если кто-то у доски делает ошибку, это ваша ошибка, потому что вы должны проверять друг друга. У меня нет времени проверять каждое вычисление. Даже если я увижу, что на доске что-то неправильно, не скажу». (На самом деле я не оставляю ни одной ошибки неисправленной.) Время от времени в разных углах аудитории образуются группы студентов, обсуждающих задачу. Когда все четыре варианта решены, я спрашиваю, есть ли вопросы. Я также комментирую решения, объясняя, что одна и та же задача может решаться разными способами, например используя одну или две переменные или вообще без алгебры.

По ходу дела я исправляю многие скверные привычки студентов. Одна — это небрежная и неразборчивая манера записи. Складывая дроби или проделывая другие арифметические преобразования, некоторые студенты покрывают всю отведённую им часть доски пересекающимися строчками и промежуточными результатами. Становится невозможно понять, что сделано, как сделано, правильно ли и если нет, то где ошибка. Другая плохая привычка — «немедленное стирание»: как только я говорю, что решение, записанное на доске, неверно, иногда даже как только я говорю, что не понял или просто спрашиваю, что это значит — всё немедленно стирается, делая дальнейшую дискуссию невозможной.

Я напоминаю студентам, что они должны ответить на заданные вопросы, и мы обсуждаем, что эти вопросы значат. Например, многие не могут сообразить самостоятельно, какое неизвестное имеется в виду, если их спрашивают: «Как далеко...?» или «Когда...?», или «Сколько времени понадобится...?» или «Как быстро...?». Мне приходится учить студентов тому, что при составлении уравнения они должны выбрать единицу измерения для каждой величины. Для денег — это доллары или центы и, что бы они ни выбрали, им придется привести все денежные данные к этой единице. Для времени это обычно часы или минуты, и все временные данные нужно унифицировать. Может быть, придется напомнить, что в часе 60, а не 100 минут. (Некоторые студенты, когда нужно превратить 1/3 часа в минуты, хватаются за калькулятор и получают в итоге 33,3 минуты.)

Я должен учить студентов организовывать данные. Прекрасный способ — помещать данные в таблицу. Позвольте показать, как это делается, на следующем примере.

Задача 2. Сколько чистой воды нужно добавить к 100 граммам 60% раствора кислоты, чтобы получить 20% раствор?

Большинство моих студентов не могут решить такую задачу, если я не дам им схему для организации данных. Например, полезно разместить их в следующей таблице:

Величины	Дано	Добавлено	Всего
Общая масса в граммах	100	Х	100 + X
Процент кислоты	60% = 0,6	0% = 0	20% = 0,2
Кислота в граммах	0,6 (100) = 60	0	0,2 (100+Х)

Поскольку количество кислоты не меняется в процессе, мы можем написать уравнение
60 = 0,2(100 + Х),

решив которое, получим ответ: Х = 200 граммов. [3] Позвольте мне перечислить некоторые умственные операции, которые должны сделать студенты в ходе этого решения. (Все они нетривиальны, и в начале обучения студенты делают много ошибок.)

1) Написать подходящие и понятные названия строк и столбцов, такие, как «дано», «добавлено», «всего» и тому подобное;

2) разместить данные в соответствующих клетках;

3) сообразить, что когда две смеси сливаются вместе, общая масса равняется сумме масс ингредиентов;

4) сообразить, что. когда две смеси, содержащие кислоту, сливаются вместе, общее количество кислоты равняется сумме количеств кислоты в ингредиентах;

5) сообразить, что чистая вода содержит 0% кислоты;

6) заметить, что последнюю клетку можно заполнить двумя разными способами;

следовательно, эти выражения равны одно другому, вследствие чего возникает уравнение, которое можно решить, чтобы получить ответ.

Я также говорю студентам следующее:

пишите аккуратно; пишите каждый знак разборчиво; пишите каждое уравнение полностью и разборчиво, чтобы легко было проверить; аккуратно чертите таблицы; пишите цифры «0», «6» и «8» так, чтобы они отличались друг от друга; пишите цифры «1» и «7» так, чтобы они отличались друг от друга; не пишите строчную букву «l» как вертикальную черту, она должна отличаться от цифры 1;

и много других вещей, очевидных для тех, у кого в детстве были хорошие учителя. И это всё математика? Ответ, конечно, зависит от того, как мы определяем математику. Но в любом случае, всему этому необходимо учить, иначе не будет никакой математики.

Конечно же, большинство студентов не могут придумать всё это самостоятельно. Я должен им сказать, и в этом нет ничего предосудительного. Даже этот курс для многих студентов слишком сложен. Некоторые колледж-алгебру вообще не изучают. Некоторые из тех, кто её изучает, стараются свести решение задач к еще более простым правилам. И нет ничего удивительного в таких трудностях. Вспомните, что алгебра у нас не в генах: она у нас в культуре. Передача культуры требует объяснений. Если объяснений не давалось никогда, человек теряется: неверно разносит данные по клеткам, путается в отношениях между расстоянием, временем и скоростью и т. д. Это не глупость или неполноценность; это недостаток выучки.

Одна из трудностей, которую я подбрасываю только самым сильным студентам, это «невозможные» задачи. Предположим, я вызываю четверых к доске и диктую:

Задача 3. В полдень Боб вышел пробежаться со скоростью 5 миль в час. Часом позже Анна отправилась по тому же маршруту на велосипеде и догнала его (адресуясь каждому студенту по очереди) в 4, 6, 8, 10 милях от дома. Какова была скорость Анны?

Все четверо берутся за решение сходным способом. После всех мучений трое получают приемлемый ответ, но у первого ответ отрицательный. Я прошу всех помочь. Мы проверяем вычисления и видим, что ошибки нет. Иногда кто-нибудь из студентов даёт верное объяснение, иногда мне приходится заметить, что, когда Анна только выехала, Боб уже был в пяти милях от дома. Так или иначе, я довожу до сознания студентов, что они должны уметь проверить результаты своих вычислений на соответствие здравому смыслу, и при необходимости заявить, что «ответа нет».

Вот некоторые из моих важнейших целей как учителя математики:

1) Научить студентов лучше понимать и использовать родной язык, чтобы точно передавать информацию;

2) Обогащать студентов новыми средствами представления информации с пользой для постановки и решения задач;

3) Учить студентов переводу информации из одного способа её представления в другой, включая естественный язык, алгебру, таблицы, графики;

4) Привить им хорошие манеры (разборчивый почерк, результативное общение, включая умение объяснить и понять объяснение).

Чтобы это было возможно, необходимо дать студентам определенные и точные «правила игры». Должно быть ясно, что дано, что спрашивается и как отличить верный ответ от неверного. Задачи, подобные описанным выше, для этого очень хороши.

Это можно проиллюстрировать следующим примером. Однажды студентка попросила моей помощи при решении задачи, похожей на те, что даны выше. Я ответил: «Составьте таблицу». «Это обязательно?» — спросила студентка нетерпеливо. «Нет, но поскольку вы говорите, что не знаете, что делать, составьте таблицу». Студентка нехотно взялась за составление таблицы, словно делая одолжение старому педанту, и решила задачу. Я сказал: «Теперь кое-что о преподавании. Вы просили меня помочь. Я помог?» — «Да». — «Но я же ничего не сказал». — «Вы сказали, чтобы я строила таблицу». Решение текстовых задач помогает студентам организовать свои мысли.

В ходе такого преподавания я пришел к выводу, что учить понимать и разумно использовать естественный язык (в данном случае английский) — одна из наиболее насущных задач математического образования. В этом смысле всенародное математическое образование одновременно и гораздо меньше, и гораздо больше, чем обучение математике. Меньше, поскольку большинство студентов никогда не достигнут уровня профессиональных математиков. Больше, потому что математика — необходимая часть современной цивилизации, которая не заложена у нас в генах и требует выучки, чтобы передаваться следующему поколению.

Вы можете спросить: «Зачем нужно учить студентов их родному языку, если все они и так уже его знают?» Но есть разные уровни владения родным языком. Не требуется сколько-нибудь глубокого его понимания, чтобы обмениваться обычными приветствиями: «Привет! — Привет! — Как дела? — Отлично. — Ну, давай». Нужно гораздо больше, чтобы понять текст, описывающий какую-либо систему или формальное соотношение. , преподающая школьную алгебру тем студентам колледжа, которые ее не знают, заметила: «Когда мои ученики не могут решить текстовую задачу, мы с ними обсуждаем, почему они этого не могут, и приходим к выводу, что они не умеют читать». Я возразил: «Но это же не в буквальном смысле». Она согласилась: «Нет, конечно. Я имею в виду недостаток понимания».

Я часто прошу студентов объяснять друг другу решения и считаю, что это исключительно ценный для них опыт. Когда студенты делают движения руками, изображающие такие «реальности», как движение автомобилей или течение в реке, они делают абстракции почти видимыми и осязаемыми. Я говорю «абстракции», потому что эти автомобили и течения не реальны и в этом их большое преимущество. Поскольку водители, насосы и другие «реальности», упоминаемые в задачах, очищены от незначащих деталей, они служат полуабстракциями, все же понятными для новичков. Это делает текстовые задачи отличным питомником для начального изучения математики и естественных наук. После обсуждений мои студенты пишут уравнения, в которых каждый знак основан на их зрительном и моторном опыте. Радость понимания, которую они при этом ощущают — самая достойная награда за математическую работу. Фактически эта награда совпадает с целями и результатами обучения.

Заключение. Простые традиционные текстовые задачи необходимы для массового математического образования. Их главная функция — служить начальному развитию абстрактного мышления, а не прилагаться к практике в буквальном смысле. Многие выпускники школы не могут решить даже простые задачи, и университетам приходится наверстывать это. Возможно и желательно учить решать задачи гораздо раньше, уж во всяком случае не позднее, чем в старших классах школы.

Я полностью отвечаю за эту статью, хотя искренне благодарен тем, кто любезно отредактировал ее раннюю версию, особенно Мэдж Голдман и ейми.

(1) Mildred Johnson (1992). How to solve word problems in algebra.

A solved problem approach. Updated First Edition. McGraw-Hill.

Комментарий автора для русского издания. Оригинал статьи опубликован как Andre Toom. How I teach word problems. Primus, September 1997, v. VII, n. 3, pp. 264-270.

Комментарии .

[1] Публикация данной статьи в газете подготовлена мною совместно с автором, а история такова. На сайт «Математика. Школа. Будущее» (адрес: www. shevkin. ru) поступило предложение о сотрудничестве от нашего соотечественника Тоома Андрея Леоновича, проживающего ныне в Бразилии. известен как участник первой международной олимпиады по математике в 1959 г. (III место), он окончил МГУ им. , работал в МГУ около 20 лет, написал много статей для журнала «Квант», был соавтором известных статей и книжек по математике для школьников. Я переслал Андрею Леоновичу переводы на русский язык его статей, размещенных на сайте МЦНМО. Теперь эти переводы с учетом авторской правки размещены на упомянутом сайте, но мы уверены, что статьи заинтересуют и некомпьютеризированного читателя. На мой взгляд, удивительно хорошо пишет об интересующем его и нас предмете — о преподавании математики, поэтому с согласия автора я направил статьи для публикации в газету «Математика».

[2] На мой вопрос, что такое силлабус, Андрей Леонович прислал ответ, который показался мне слишком длинным для вставки в нужном месте, но он важен для понимания смысла сказанного. Поэтому этот ответ приводим здесь: «Английское слово «syllabus», употребляемое мною в статье, означает листок, приготовляемый преподавателем в начале курса и раздаваемый всем студентам. Он содержит необходимую информацию: название курса, имя преподавателя, дни и часы занятий, дни и часы консультаций (когда профессор сидит в своем кабинете и студенты могут приходить разговаривать с ним), краткое содержание курса, рекомендуемая литература и проценты, из которых складывается отметка — контрольные, финальный тест и т. д. Силлабус также может включать правила поведения студентов и даже важнейшие положения «философии» преподавателя – как в данном случае.»

[3] В данной статье Андрей Леонович ставит задачу показать применение алгебраического способа решения задач, но на практике он показывает и другие способы решения, о чем говорится в другой его статье. Покажем, арифметический способ решения задачи 2. В ней требуется уменьшить концентрацию раствора в 60:20 = 3 раза. Для этого достаточно увеличить общую массу раствора в 3 раза (при доливании воды масса кислоты не изменяется). Это означает, что воды надо долить 100 – 100 = 200 граммов.

kakya. doc