Дифференцирование абстрактной функции

§5. Дифференцирование абстрактной функции.

Пусть и - нормированные пространства отображение называется абстрактной функцией и обозначается .

Определение сильного дифференциала (дифференциала Фреше). Говорят, что функция дифференцируема в точке , если найдется такой линейный ограниченный оператор , что

(5.1)

где функция бесконечно малая при .Линейный оператор называется сильной производной (производной Фреше) абстрактной функции и обозначается , элемент называется сильным дифференциалом (дифференциалом Фреше) функции в точке и обозначается.

Равенство (5.1) можно записать в виде

(5.2)

Очевидно, что дифференцируемая функция непрерывна.

Свойства производной и дифференциала Фреше.

1.

2. Если функция дифференцируема в точке , а функция

дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и .

Доказательство.

или

Так как непрерывная функция, то при выполнено , откуда следует, что при .

Определение слабого дифференциала (дифференциала Гато)

Легко показать, что дифференциал Гато есть однородная функция, но не обязательно аддитивная и ограниченная. Если же дифференциал Гато есть ограниченный линейный оператор, то , и линейный оператор называют слабой производной функции в точке . В вариационном исчислении дифференциал Гато называют первой вариацией. Можно показать, что для существования производной Гато в точке достаточно, чтобы в некотором шаре с центром в этой точке дифференциал Гато был непрерывен по и равномерно непрерывен по .

§6. Формула конечных приращений для дифференцируемой функции.

3. Если слабая производная определена на выпуклом множестве , то

(6.1)

Доказательство. Соединим точки и отрезком и рассмотрим на отрезке функцию

Пусть произвольный ограниченный линейный функционал в пространстве . Рассмотрим скалярную функцию

Функция дифференцируема на

Применяя к функции формулу конечных приращений, получаем

(6.2)

В силу следствия из теоремы Банаха-Хана о продолжении линейного функционала найдется линейный функционал с единичной нормой такой, что

(6.3)

Из (6.2) и (6.3) следует первое неравенство (5.2). Чтобы получить второе неравенство следует применить первое неравенство к функции .

Следствие 1. Если на выпуклом множестве выполнено неравенство , то на этом множестве функция удовлетворяет условию Липшица

(6.4)

Связь между слабой и сильной производными.

Легко показать, что сильная производная есть и слабая производная. Обратное утверждение неверно. Справедлива теорема

Теорема. Если слабая производная существует в некоторой окрестности точки и непрерывна в точке , то .

Доказательство. Пусть

Применяя формулу конечных приращений (6.1), получаем

при

в силу непрерывности слабой производной в точке

Но тогда

Следовательно есть производная Фреше .

Формула конечных приращений в интегральной форме.

Теорема. Если производная Фреше непрерывна на выпуклом множестве , то при справедливы формулы

(6.5)

(6.6)

Доказательство. Рассмотрим на отрезке функцию

По правилу нахождения производной сложной функции

Интегрируя это равенство, получаем

Формула (6.5) доказана. Для доказательства формулы (2.8) то же самое рассуждение нужно применить к функции

Заметим только, что

Лемма 1. Если производная Фреше удовлетворяет на выпуклом множестве условию Гельдера

(6.7)

то

Доказательство. Применяя равенство (6.6), получаем

Пример.

Рассмотрим непрерывную на квадрате функцию и непрерывно дифференцируемую в полосе функцию . Предположим, что функция равномерно непрерывна в полосе . Оператор

действует из в . Покажем, что этот оператор дифференцируем по Фреше и

Имеем

Покажем, что бесконечно малая функция при в пространстве . Применяя формулу конечных приращений Лагранжа к функции , получаем

В силу равномерной непрерывности частной производной для любого существует такое, что при выполнено неравенство

Если , то

Следовательно,

Функция при . Следовательно, функция дифференцируема на .

§7. Функции двух переменных или .

Лемма 1. Общий вид линейного оператора

(7.1)

Доказательство. Так как при выполнено неравенство

то есть линейный оператор на .

Пусть . Положим . Так как

то линейные операторы и

Лемма доказана.

Дифференцируемость. Функция дифференцируема в точке , если найдутся линейные операторы такие, что

где бесконечно малая функция при . Частные производные определяются как

Если , то функция и

Правило дифференцирования сложной функции, примененное к дает

§8. Теорема о неявной функции. Пусть - банаховы пространства. Задана абстрактная функция . Будем обозначать эту функцию как . Рассмотрим абстрактное уравнение .

Определение неявной функции. Говорят, что уравнение определяет на множестве переменную как неявную функцию , если для любого существует единственный такой, что .

Теорема 1. (о неявной функции). Если

1)

2)  функции и непрерывны в окрестности точки

3)  существует линейный ограниченный оператор

то существуют положительные числа такие, что на множестве уравнение определяет как неявную функцию . Неявная функция непрерывна и.

Доказательство. Запишем уравнение в эквивалентной форме

(8.1)

Функция обладает следующими свойствами

1.  Функции и непрерывны в окрестности , 

2.   , 

Пусть .

Так как функция непрерывна и , то для найдется такое , что при выполнено неравенство

(8.2)

Из формулы конечных приращений следует, что при каждом оператор является оператором сжатия в шаре .

Оценим теперь . Подберем число так, чтобы

если . Это возможно, поскольку функция непрерывна и стремится к нулю при .

При каждом оператор является оператором сжатия в шаре

и отображает этот шар в себя и поэтому у этого оператора есть единственная неподвижная точка в этом шаре. Тем самым уравнение определяет в переменную как неявную функцию . Осталось доказать, что эта функция непрерывна. Докажем сначала непрерывность в точке

Следовательно,

при

Аналогично доказывается непрерывность в любой точке .

Исследуем дифференцируемость неявной функции.

Теорема 2. Если к условиям предыдущей теоремы добавить условие непрерывности функции в некоторой окрестности точки , то найдется такая окрестность, в которой неявная функция будет дифференцируемой.

Доказательство. Известно, что ряд Неймана

,

сходится при и его сумма есть . Это сразу следует из равенства

Так как

то

Или

Так как при , то в достаточно малой окрестности точки

и поэтому

Воспользовавшись непрерывностью частных производных, получаем

где бесконечно малая при .

Таким образом, неявная функция дифференцируема и

Вспоминая, что

получаем

Эту формулу можно получить, дифференцируя формально тождество

В самом деле,