Интересные приёмы устных вычислений
Одна из основных задач обучения математики в начальных классах – формирование вычислительных навыков учащихся. Большое внимание этому уделяется программе, в которой определена «задача повышения качества обучения детей математике, и в первую очередь формирования прочных навыков счёта…Осознанное и прочное усвоение приёмов устных и письменных вычислений».
Совершенствование навыков устных вычислений зависит не только от методики организации занятий, от форм контроля, но и во многом от того, насколько сами дети проявляют интерес к этой форме работы.
Этот интерес можно вызвать, показав учащимся красоту и изящество устных вычислений, используя не совсем обычные вычислительные приёмы, помогающие порой значительно облегчить процесс вычисления. Эти приёмы вычислений могут быть преподнесены в виде занимательных задач на уроках или на внеклассных занятиях.
Как известно, дети любят умножать на 10, 100, 1000. В данном случае умножение заключается в простом приписывании к числу соответственно одного, двух или трёх нулей. Однако учитель не часто обращает внимание детей на то, что так же быстро и легко можно умножить число на 5, 50, 500. В этом случае при умножении к половине числа соответственно приписывают один нуль, два нуля или три. Особенно эффективен этот приём при умножении на эти числа чётного числа. Например: 68*5=(34*2)*5=34*(2*5)=34*10=340
68*50=34*100=3400
В этих примерах, взятых из учебника «Математика - 3», используются известные учащимся правила умножения произведения на число и умножения числа на 10.
При умножении на 5, 50, 500 нечётных чисел можно воспользоваться предыдущим приёмом, представив число в виде суммы чётного числа и единицы и затем применив правило умножения суммы на число, т. е. распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:
17*50=(16+1)*50=16*50+1*50=800+50=850
При делении чисел на 5, 50, 500 всё выполняется в обратном порядке: удваивается делимое и отбрасывается один, два, три нуля соответственно. Например:
135*5=(135*2):(2*5)=270:10=27
2150:50=4300:100=43
Вообще, устное умножение больших чисел привлекает внимание учащихся, т. к. в начальных классах такое умножение обычно выполняется письменно и умение учителя умножать, например, на 25 устно заинтересовывает учащихся, вызывает их удивление и стремление узнать секрет. А секрет прост, особенно для чисел, кратных 4, если обычное для учащихся начальных классов рассуждение:
24*25=(6*4)*25=6*(4*25)=6*100=600
Этот способ можно распространить и на умножение нечётных чисел на 25, представив их в виде суммы или разности чисел, кратного четырём, или единицы (или 2):
37*25=(36+1)*25=36*25+1*25=900+25=925
35*25=(36-1)*25=36*25-1*25=900-25=875
38*25=(36+2)*25=36*25+2*25=900+50=950
Устный приём умножения на 25 можно распространить и в другом направлении: умножение чисел на 26 и на 24 можно заменить умножением их соответственно на выражения 25+1 и 25-1. Например:
36*26=36*(25+1)=36*25+36*1=900+36=936
36*24=36*(25-1)=36*25-36*1=900-36=864
При делении чисел на 25, как и при делении на 5, всё выполняется в обратном порядке по сравнению с умножением: делимое умножается дважды на два, т. е. на 4 и отбрасывается два нуля. Например, для нахождения значения выражения 225:5 достаточно у числа (225*2)*2=225*4=900 отбросить два нуля, в результате получается частное 9.
Аналогично, но ещё с большим внешним эффектом можно продемонстрировать умножение числа на 125, разделив его (если это возможно) на 8 и умножив на 1000, т. к. 125=1000:8. Например;
88*125=(88:8)*100=11000
Если данное число на 8 не делится, то пользуются одним из перечисленных выше приёмов.
Часто приходится умножать, например, на 9, 99, или 999. В этом случае бывает удобным представить эти числа в виде 10-1, 100-1, 1000-1, а потом использовать распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно вычитания.
678*9=678*(10-1)=6 780-678=6102
577*99=577*(100-1)=57 700-577=57 123
34*999=34*(1000-1)=34 000-34=33 966
Следует отметить что отдельные учащиеся затрудняются удерживать в памяти большие числа. В этом случае для овладения приёмами устных вычислений целесообразно иногда использовать так называемые полуписьменные вычисления, при которых допускается запись некоторых промежуточных результатов. Так при вычислении первых двух произведений промежуточные результаты 6 780-678 и 57 700 -577 могут быть записаны.
Можно использовать и другие интересные способы устных вычислений, вызывающие у детей внимание и интерес.
Вот один из таких приёмов, который опирается на правило умножения числа на сумму, изучаемое в 3-ем классе:
14*15=14*(10+5)=14*10+14*5=…
Не торопись вычислять значение произведения, этот результат нам не понадобится в дальнейшем, наши вычисления будут значительно проще:
…=14*10+7*10=(14+7)*10=21*10=210
Рассмотрев подчёркнутые выражения, можно сделать вывод(обобщение): чтобы умножить чётное число на 15, надо к нему прибавить его половину
И результат умножить на 10. Следует подчеркнуть, что это правило справедливо только для чётных чисел. Если же надо умножить нечётное число, то пользуются уже известным приёмом:
23*15=(22+1)*15=22*15+15=330+15=345
Ознакомление учащихся на внеклассных занятиях с умножением разности на число позволит расширить применение данного приёма. Так, умножение числа на 14 или 16 можно заменить умножением его соответственно на 15-1 или 15+1:
66*14=66*(15-1)=66*15-66*1=990-66=924
62*16=62*(15+1)=62*15+62*1=930+62=992
Результат умножения числа на 150 можно получить, проведя последовательно умножение его на 15 и 10.
Чтобы возбудить интерес учащихся к вычислениям, можно на внеклассном занятии показать им необычный приём. Таким приёмом является способ умножения числа 5, оканчивающегося на себя с использованием определённого правила. Например, для случая 35*35 это правило читается так: число десятков ( 3) умножить на число на единицу большее (4) и к результату приписать 25, получится 1225. Этот приём является частным случаем правила: «Если 2 числа имеют равное число десятков, а сумма числа их разрядных единиц равна 10, то произведение находят так: к произведению числа десятков одного из них и на единицу большего числа, умноженного на 100, прибавляют произведение единиц». Например,
61*69=6*(6+1)*100+1*9=4200+9=4209
243*249=24*25*100+3*7=60 000+21=60 021
Интересно, что если произведение единиц – двузначное число, как во втором примере, то нахождение искомого произведения состоит в простом приписывании к произведению числа десятков и на единицу большего числа произведения единиц. (Приведенное правило кажется на первый взгляд искусственным, но оно имеет строгое математическое обоснование. Учащиеся могут убедиться в правильности в правильности получаемых результатов путём письменных вычислений).
Изложенные выше приёмы помогут учителю в организации устного счёта, сделают более интересными и полезными внеклассные занятия по математике, привьют учащимся интерес к устным вычислениям, а следовательно, будут способствовать формированию прочных, устойчивых вычислительных навыков.
