Задание

Задание 1. Вычислить пределы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

Задание 2.

Используя правило Лопиталя, вычислить пределы:

1.

2.

3.

Найти точки экстремума функции:

4. y = x ln x;

5. ;

6. .

Найти абсциссы точек перегиба графика функции:

7. ;

8. ;

Найти вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты функции:

9. ;

10. .

Задание 3.

1. Найти предел функции двух переменных .

2. Пусть U = x3y – у3x. Найти .

3. Пусть U = x2y – у2x и х = U cos V, y = U sin V. Найти .

4. Найти полный дифференциал первого порядка функции U=arctg (xy).

5. Найти полный дифференциал третьего порядка функции U=x2y.

6. Найти величину градиента функции U = x2 + y2 + z2 в точке (2; -2; -1).

7. Найти уравнение касательной к поверхности U = sin x * cos y в точке

М .

8. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (0;0) до членов третьего порядка включительно функцию U (x; y) = ex sin y.

9. Найти максимум функции:

.

10. Найти наименьшее значение функции U = x2 + y2 в круге:

.

Задание 4. Вычислить неопределенные интегралы.

1. , -1 < x < 1.

2. , x > 0.

3. , x >0.

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10.

Задание 5.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами:

у2 + 8х = 16, у2 – 24х = 48.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, уравнение которой задано в параметрической форме x = 2 acos t – asin 2t, a > 0.

3. Вычислить площадь четырехлепестковой розы, уравнение которой задано в полярных координатах:

.

4. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в декартовой системе координат

.

5. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в параметрической форме:

.

6. Вычислить длину дуги кривой, уравнение которой задано в полярной системе координат

.

7. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной кривыми y = sin x, y = 0 (0 ≤ x ≤ π), вокруг оси 0у.

8. Вычислить объем тела, полученного вращением одной арки циклоиды (уравнение циклоиды задано в параметрической форме)

.

9. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением эллипса

вокруг малой оси (эллипсоид вращения).

10. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды

вокруг оси 0у.