«Исследование квадратных уравнений» (стр. 3 )

При решении уравнения методом хорд нелинейная функция f(x) на отделенном интервале [a, b] заменяется линейной, в качестве которой берется хорда – прямая, стягивающая концы нелинейной функции. Вычисляются значения функции на концах отрезка, и строится "хорда", соединяющая точки (a, f(a)) и (b, f(b)).

При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a, b] на котором существует только одно решение, и точность ε. Затем через две точки с координатами (a, f(a)) и (b, f(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс, точка c. Если при этом f(a)∙f(c)<0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку c переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности |f(c)|< ε.

f(a)∙f(c)<0 (да)	f(a)∙f(c)<0 (нет)

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки с координатами (a, f(a)) и
(b, f(b)):

Прямая заданная полученным уравнением пересекает ось абсцисс при условии у=0. Найдем точку пересечения хорды с осью Х.

Итак,

Далее необходимо вычислить значение функции в точке с. Если | f(c) | < 0, то полученное число и есть корень уравнения с выбранной точностью, иначе необходимо построить следующую хорду и выполнить все рассмотренные ранее действия.

Блок-схема метода хорд

Метод касательных

Метод касательных, иначе метод Ньютона впервые был предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном, под именем которого и обрел свою известность.

Идея, на которой основан метод касательных, аналогична той, которая реализована в методе хорд, только в качестве прямой берется касательная, проводимая в текущей точке данной функции f(x).

В одной из точек промежутка [a;b], в котором находится корень уравнения, например с, проведем касательную.

Уравнение этой прямой y=kx + m.

Так как данная прямая является касательной и проходит через точку , то
.

Отсюда следует:

Найдем точку пересечения касательной с осью Х:

Если , то требуемая точность достигнута и x – корень уравнения; иначе, переменной с необходимо присвоить x, провести касательную через новую точку с и так продолжать до тех пор, пока .

Осталось решить, что выбрать в качестве начального приближения с.

В этой точке должны совпадать знаки функции и её второй производной. А так как нами сделано допущение, что вторая и первая производные не меняют знак, то можно проверить условие на обоих концах интервала и в качестве начального приближения взять ту точку, где оно выполняется.

Комбинированный метод хорд и касательных

Если выполняются условия:

1.  ,

2.  сохраняют знак на отрезке .

то приближения корня уравнения по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т. к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.

Алгоритм решения уравнения комбинированным методом:

1.  Вычислить значения функции и .

2.  Найти производные .

3.  Для метода касательных выбирается в качестве первого приближения выбирается тот из концов отрезка , в котором выполняется условие
, т. е. и одного знака.

4.  Приближения корней находятся:

а) по методу касательных: ,

б) по методу хорд: .

5.  Вычисляется первое приближение корня: .

6.  Проверяется выполнение условия: , где - заданная точность.

Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по предыдущей схеме.

В этом случае отрезок, на котором расположен корень, сужается и имеет вид .

Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение , при котором и совпадут с точность .

Графическое решение таких уравнений можно осуществить путем построения компьютерных моделей:

• построением графика функции в системе объектно-ориентированного программирования Visual Basic или Turbo Delphi

• в электронных таблицах Microsoft Excel или OpenOffice. org Calc путем построения диаграммы типа График

Пример программы:

Найдем корень уравнения х3-cosx=0 приближенными методами (графическим и численным методом деления пополам числового отрезка аргумента)

Формальная модель задана уравнением, для нахождения корня уравнения разработаем компьютерную модель на языке Visual Basic.

Графический метод

1 Dim Graph1 As Graphics

Dim Pen1 As New Pen (Color. Black, 2)

Dim drawBrush As New SolidBrush (Color. Black)

Dim drawFont As New Font (“Arial”, 10)

Dim X, Y As Single

‘Графическое решение уравнения

Private Sub Button1_Click(…)

Graph1=Me. PictureBox1.CreateGraphics()

Graph1.Clear (Color. White)

‘Печать шкал математической системы координат в компьютерной системе координат

For X=-150 To 150 Step 50

Graph1.DrawString (X/100, drawFont,_

drawBrush, X+150, 50)

Next X

For Y=0 To 200 Step 50

Graph1.DrawString ((Y-150)/100, drawFont,_

drawBrush, 150, 200-Y)

Next Y

‘Преобразование компьютерной системы координат в математическую систему координат

Graph1.ScaleTransform(1, -1) ‘поворот оси Y

Graph1.TranslaterTransform (150, -50) ‘Сдвиг по осям X и Y

‘Рисование осей математической системы координат

Graph1.DrawLine (Pen1, -150, 0, 300, 0) ‘ось Х

Graph1.DrawLine (Pen1, 0, -150, 0, 50) ‘ось Y

For X=-150 To 150 Step 50 ‘засечки на оси Y

Graph1.DrawLine (Pen1, X, -5, X, 5)

Next X

For Y=-100 To 100 Step 50 ‘засечки на оси Y

Graph1.DrawLine (Pen1, -5, Y, 5, Y)

Next Y

‘График функции

For X=-1.5 To 1.5 Step 0.01

Y=X^3-Math. Cos(X)

Graph1.DrawEllipse (Pen1, X*100, Y*100, 1, 1)

Next X

End Sub

График функции пересекает ось Х один раз, следовательно, уравнение имеет один корень. По графику грубо приближенно можно определить, что х≈0.8 cм

Метод половинного деления

Уточнение корня уравнения методом половинного деления.

При решении уравнения, как правило, заранее задается допустимая погрешность е приближенного значения корня E. В процессе уточнения корней требуется найти их приближенные значения, отличающиеся от точных не более чем на е.

Гораздо более эффективным является так называемый метод половинного деления.

Пусть уравнение F(x)=0 имеет на отрезке [а; b] единственный корень, причем функция F(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок [а; b] пополам точкой с = (а + b)/2. Если F(c) <> 0 (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: F(x) Меняет знак либо на отрезке [а; с] (рис. 2.6, а), либо на отрезке [a; b] (рис. 2.6, б). Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.