Олимпиадные задачи.
Тема: Четность и нечетность.
Решение задач с применением четности и нечетности чисел всегда отличались необычайной логической красотой и абсолютной прозрачностью выводов. Они основываются на простейших свойствах арифметических операций (обычно на сложении или вычитании).
Олимпиадные задачи по математике на четность и нечетность часто требуют опровержений тех факты, о которых спрашивается, и имеют сходную логику с методом доказательства от противного. При самом распространенном ответе «не может» требуется объяснить, почему именно этого не может быть.
Если ребенок говорит: «Может», то достаточно привести пример такого расклада, распределения или комбинации. Помимо прямых олимпиадных задач на четность и нечетность по математике может включать в себя разбор близких по замыслу задач (на две противоположности), решаемых при помощи анализа отнесения объекта (или варианта) в ту или иную группу. К задачам на четность относятся:
Ø задачи на чередование;
Ø задачи на разбиение на пары;
Ø задачи на четность и нечетность.
Задачи на чередование.
Свойства чередования:
1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).
2. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов:
· начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов,
· начало и конец одного вида, то нечетное число.
3. Обратно: По четности длины чередующейся цепочки можно узнать, одного или разных видов её начало и конец.
Задача 1:
На плоскости расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно?
Решение:
Предположим, что первая шестеренка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестеренка должна вращаться против часовой стрелки. Третья – снова по часовой, четвертая – против и т. д. Ясно, что «нечетные» шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а «четные» – против. Но тогда 1-я и 9-я шестеренки одновременно вращаются по часовой стрелке. Противоречие.
Задача 2:
Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?
Решение:
Ответ: нет, не может.
Так как конь должен сделать 63 хода, то последним (нечетным) ходом он встанет на поле другой четности, нежели a1; но h8 имеет тот же цвет.
Задача 3:
Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка – одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?
Решение:
Ответ: Пять.
Задача 4.
16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них расположить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?
Решение:
По условию всего арбузов – 55, а это нечетное число. Значит, разложить нельзя.
Задачи на разбиение на пары.
Свойство: Если предметы можно разбить на пары, то их количество четно.
Задача 5:
Можно ли нарисовать 9 - звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?
Решение:
Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся. Однако тогда число звеньев должно быть четным.
Задача 6:
Можно ли выпуклый 17-угольник разрезать на параллелограммы?
Решение:
Если выпуклый многоугольник можно разрезать на параллелограммы, то его стороны обязательно разбиваются на пары параллельных.
Задача 7:
Семь тринадцатируков с планеты Тринадцатирук решили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли они одновременно провести поединки для всех своих рук, чтобы все руки принимали участие, и в каждом поединке встречалось ровно две руки?
Решение:
Тринадцатируки не смогут провести поединки для всех рук одновременно, так как в каждом поединке принимает участие две руки, а всего рук 13 · 7 = 91.
Задачи на четность и нечетность.
Свойства четности и нечетности чисел:
Задача 8:
У Нины было 11 плиток шоколада фабрики "Краскон". Может ли Нина, поделив каждую плитку на 7, 13 или 21 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?
Решение:
Нет, т. к. если сложить 11 нечетных чисел, получим нечетный результат. А 100 четное число.
Задача 9:
Гриша посчитал сумму 1+3+5+…+997+999 и получил результат 247013. Какая чётность данной суммы? Верный ли ответ получил Гриша? Попробуйте выполнить сложение устно.
Решение:
В этой сумме 500 нечётных чисел (среди чисел от 1 до 1000 ровно половина нечётные), значит, сумма чётна. Гриша получил нечётный ответ, значит, он неверный.
Найдём сумму двумя способами.
1. Разобьём числа от 1 до 999 на пары: 1и 999, 3 и 997, 5 и 995, …499 и 501. Всего получилось 500 : 2 = 250 пар. В каждой паре сумма чисел одинакова. (1 + 999) · 500 : 2 = 250000.
2. Сложим две такие суммы, одна из которых написана в обратном порядке:
1 + 2 + 3 +…+ 999
999 + 998 + 997 +…+ 1
1000 + 1000 + 1000 +…+ 1000 = 1000 · 500 = 500000.
Одна такая сумма будет 500000 : 2 = 250000.
Задача 10:
В магазин "Малыш" привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 71 рубля?
Решение:
Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 чисел (цена одной игрушки), все они нечетные, значит, их сумма должна быть четна. Но 71 - число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.
Задача 10:
Можно ли разменять 35 рублей при помощи двенадцати купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?
Решение:
Ответ: Нет
Задача 11:
Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?
Решение:
На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна. Ответ нет, так как 1990 четное число.
Используемая литература и источники:
1. http://www. zaba. ru/all. html - математические олимпиады и олимпиадные задачи.
2. http://znaemna5.ucoz. ru/index/primery_reshenija_zadach_na_chetnost_i_nechetnost/0-69 - знаешь математику на 5!
3. http://phizmat. /2010-05-22-08-03-23/922-olimpiada-delimost-ostatki-1 - олимпиадные задачи по математике
4. Задачи на смекалку. Учебное пособие для 5 – 6 классов образовательных учреждений , : Москва «Просвещение» - 2003
5. http://knowledge. allbest. ru/mathematics/3c0a65625a2bd78a5d43b89421306d27_0.html - Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы.
