9 класс

9 класс

Задача 1. Найдите целую часть числа y:

.

Решение. Заметим следующее:

.

Так как – возрастающая функция по n, то . Следовательно:

.

Аналогично получим:

.

Таким образом, получено ограничение:

.

Получаем:

.

Так как , а , справедливо следующее:

.

Таким образом:

,

.

Из этого следует, что целая часть числа y равняется 1998.

Задача 2. Докажите, что число 20901068 + 1141510 – 3155112 делится на 810 без остатка.

Решение. Разложим число 810 на простые множители: – и докажем, что выражение 20901068 + 1141510 – 3155112 делиться на каждый из этих сомножителей.

1) Очевидно 20901068 – чётное, 1141510 – нечётное, 3155112 – нечётное. Следовательно, выражение 20901068 + 1141510 – 3155112 делиться на 2.

2) По свойству делимости на 3 числа 2090106, 11415 и 31551 делятся на 3 без остатка. Следовательно, любое из этих чисел, возведённое в степень более, чем 4, будет гарантированно кратно 34. Следовательно 20901068, 1141510, 3155112 кратны 34. Выражение 20901068 + 1141510 – 3155112 также будет кратно 34.

3) Так как 11415 кратно 5, то число 11415 возведённое в любую натуральную степень также будет кратно 5. Заметим, что последний разряд числа 2090106n вне зависимости от степени n будет равен 6, а последний разряд числа 31551n вне зависимости от степени n будет равен 1. Таким образом, последний разряд значения 20901068 – 3155112 будет равен 5. Следовательно выражение 20901068 + 1141510 – 3155112 будет кратно 5.

Таким образом, было показано, что 20901068 + 1141510 – 3155112 делится на 810 без остатка.

Задача 3. Выполняя домашнее задание, школьник-гимназист добросовестно рисовал квадраты в тетради. Сторона 1-о квадрата равнялась 1 мм, второго – 2 мм, третьего – 3  мм и т. д., сторона последнего, n-го равнялась n мм. После чего ученик успешно соединил линиями квадраты между собой таким образом, что от квадрата со стороной 1 мм отходила 1 линия, со стороной 2 мм – 2 линии и т. д., от квадрата со стороной n мм – n линий. Чему равняется число n, если известно, что оно двузначное, меньше 35 и кратно 7.

Решение. Из условий задачи следует, что n может равняться 14, 21 или 28.

Заметим, что одна (любая) линия отходит от двух разных квадратов. То есть количество линий, соединяющих квадраты будет в два раза меньше, чем количество соединений данных линий с квадратами: . Очевидно, данное число должно быть целым. – не целое, – не целое, – целое. Следовательно, студент-гимназист нарисовал ровно 28 квадратов.

Задача 4. Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является стороной квадрата ADFB (точки C и D находятся по разные стороны от прямой AB). Точка O – центр квадрата ADFB. Докажите, что CO – биссектриса прямого угла ACB.

Решение. Впишем квадрат ADFB в квадрат CKHN.

Пусть , тогда , а . Так как , то . Из аналогичных рассуждений .

Рассмотрим :

1) Точка O равноудалена от DA и AB (так как является центром квадрата ADFB), H1 делит пополам DA, H2 делит пополам AB. При этом , .

2) Так как , . Следовательно, .

3) (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, – равнобедренный.

Аналогично получаем , , , – равнобедренные. При этом (по трём сторонам).

. В прямоугольном равнобедренном треугольнике угол между катетом и гипотенузой , таким образом, .

Задача 5. Представим некоторое число вида 24k – 1 (где k – натуральное) в виде произведения двух натуральных чисел p и q. Докажите, что при любом k, выражение p + q будет кратно 24.

Решение. Так как mod(24k – 1, 3) = 2 (остаток при делении 24k – 1 на 3 равен 2), то при делении чисел p и q на 3 должны получаться разные ненулевые остатки. Будем считать, что

, .

Так как 24k – 1 – нечётное число, то p и q также должны быть нечётными. Тогда , . При этом, получаем:

, . (1)

Тогда . . Если mod(p + q, 24) = 0, тогда должно делиться на 4 без остатка.

Из (1) следует, что

,

упрощая, получаем

,

из чего следует, что

. (2)

Заметим, что выражение можно представить в виде или . Так как p и q – нечётные, то (2) выполняется только в том случае, если у и одинаковая чётность.

Рассмотрим 2 случая:

I. и – нечётны.

Тогда .

II. и – чётны.

.

Таким образом, для любых и , удовлетворяющих (2), получили . Ч. т.д.