Фонд оценочных средств

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВО «СГУ имени »

Механико-математический факультет

СОГЛАСОВАНО заведующий кафедрой компьютерной алгебры и теории чисел "__" ________________20___ г.

УТВЕРЖДАЮ председатель НМС факультета "__" ________________20___ г.

Фонд оценочных средств

Текущего контроля и промежуточной аттестации по дисциплине

Теория чисел

Направление подготовки бакалавриата

020301 – Математика и компьютерные науки

Профиль подготовки бакалавриата

Математические основы компьютерных наук

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

очная

Саратов,

2016 год

1. Карта компетенций

Контролируемые компетенции (шифр компетенции)	Планируемые результаты обучения (знает, умеет, владеет, имеет навык)
способность работать в коллективе, толерантно воспринимая социальные, этнические, конфессиональные и культурные различия (ОК-6)	Знать: принципы функционирования профессионального коллектива, понимать роль корпоративных норм и стандартов
Уметь: работать в коллективе, эффективно выполнять задачи профессиональной деятельности
Владеть: приемами взаимодействия с сотрудниками, выполняющими различные профессиональные задачи и обязанности
способность к самоорганизации и к самообразованию (ОК-7)	Знать: содержание процессов самоорганизации и самообразования, их особенностей и технологий реализации, исходя из целей совершенствования профессиональной деятельности
Уметь: самостоятельно строить процесс овладения информацией, отобранной и структурированной для выполнения профессиональной деятельности
Владеть: технологиями организации процесса самообразования; приемами целеполагания во временной перспективе, способами планирования, организации, самоконтроля и самооценки деятельности
готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности (ОПК-1)	Знать: основные понятия, принципиальные результаты и методы математической логики, алгебры и теории чисел
Уметь: уметь решать стандартные задачи математической логики, алгебры и теории чисел
Владеть: основной терминологией и понятийным аппаратом математических дисциплин, методами доказательств утверждений
способность к самостоятельной научно-исследовательской работе (ОПК-3)	Знать: Основные понятия, идеи, методы решения математических задач, возникающих в производственной и технологической деятельности
Уметь: формулировать математическую и естественнонаучную проблему в производственно-технологической сфере
Владеть: проблемно-задачной формой представления математических и естественнонаучных знаний

2. Показатели оценивания планируемых результатов обучения

Семестр	Шкала оценивания
2	3	4	5
6 семестр	Студент не знаком с основными понятиями и методами, рассмотренными в курсе.	Студент имеет неполные представления об основных понятиях и методах рассмотренных разделов теории сравнений	Студент имеет сформированные, но содержащие отдельные пробелы в представлениях об основных понятиях и методах рассмотренных разделов теории сравнений первой и второй степени	Студент имеет сформированные систематические представления об основных понятиях и методах рассмотренных разделов теории сравнений первой и второй степени
7 семестр	Студент не знаком с основными понятиями и методами, рассмотренными в курсе.	Студент имеет неполные представления об основных понятиях и методах рассмотренных разделов аналитической теории чисел	Студент имеет сформированные, но содержащие отдельные пробелы в представлениях об основных понятиях и методах аналитической теории чисел	Студент имеет сформированные систематические представления об основных понятиях и методах аналитической теории чисел

3. Оценочные средства

3.1.  Задания для текущего контроля

Контрольная работа

Контрольная работа является одной из форм контроля усвоения студентами учебного материала, а также выработки первичных навыков и умений применения полученных знаний.

Контрольная работа представляет собой письменную работу по заранее заданному варианту. При написании контрольной работы разрешается использовать конспекты лекций, основную и дополнительную литературу по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).

Критерии оценки

Оценка «5»

-  наблюдается глубокое и прочное усвоение программного материала;

-  студент свободно справляется с поставленными задачами;

-  студент принимает правильно обоснованные решения.

Оценка «4»

-  демонстрируется хорошее знание программного материала;

-  грамотное изложение, без существенных неточностей в ответе на вопрос;

-  правильное применение теоретических знаний.

Оценка «3»

-  наблюдается усвоение основного материала;

-  в решении присутствуют неточности;

-  нарушение последовательности в изложении программного материала.

Оценка «2»

-  незнание программного материала;

-  при решении возникают ошибки.

Примерные варианты контрольных работ

Контрольная работа №1 (Темы: Разложение на множители. Мультипликативные функции. Сравнения первой степени)

Вариант1.

1.  Доказать, что числа вида 4n+15n-1 (n=1,2,…) кратны 9.

2.  Найти такое простое число р, чтобы числа 4р2+1 и 6р2+1 оба были простыми.

3.  Решить уравнение где и

4.  При каких целых значениях х следующие функции принимают целочисленные значения: 1) ; 2) ?

5.  Решить систему сравнений .

Вариант 2.

1.  Доказать, что (a,b)=(5a+3b,13a+8b).

2.  Если числа р и 8p2+1 простые, доказать что тогда и число 8p2+2р+1 тоже простое.

3.  Решить уравнения 1) 2) 1)

4.  При каких целых значениях х следующая функция принимает целочисленные значения: ?

5.  Решить систему сравнений .

Контрольная работа №2 (Тема: Сравнения второй степени)

Вариант1.

1.  Решить сравнение, предварительно приведя его к двучленному: 2х2+4х-10(mod 5).

2.  Найти целые точки, через которые проходят следующие кривые: 4х2-5у=6, 11у=5х2-7.

3.  Найти остаток от деления числа 264 на 360.

4.  Установить какие из следующих сравнений разрешимы, и найти соответствующие решения: 1); 2).

Вариант 2.

1.  Решить сравнение, предварительно приведя его к двучленному: 2х2-2х-10(mod 7).

2.  Найти целые точки, через которые проходят следующие кривые: 15х2-7у2=9, 13у=х2-21х+110.

3.  Найти остаток от деления числа 15325-1 на 9.

4.  Установить какие из следующих сравнений разрешимы, и найти соответствующие решения: 1); 2).

3.2  Промежуточная аттестация

Методические указания

Промежуточные аттестация по дисциплине «Теория чисел» проводятся в виде зачета. Учебным планом бакалавров по направлению подготовки «Математика и компьютерные науки» предусмотрено две промежуточные аттестации по соответствующим разделам данной дисциплины. Подготовка студента к прохождению промежуточной аттестации осуществляется в период лекционных и семинарских занятий, а также во внеаудиторные часы в рамках самостоятельной работы. Во время самостоятельной подготовки студент пользуется конспектами лекций, основной и дополнительной литературой по дисциплине (см. перечень литературы в рабочей программе дисциплины).

Критерии оценивания

Во время экзамена (зачета) студент должен дать развернутый ответ на вопросы, изложенные в билете. Преподаватель вправе задавать дополнительные вопросы по всему изучаемому курсу.

Полнота ответа определяется показателями оценивания планируемых результатов обучения (раздел 2).

Вопросы для проведения зачета в 6 семестре

1. Понятие делимости целых чисел. Свойства делимости.

2. Простые и составные числа. Теорема Евклида.

3. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение числа.

4. Целая и дробные части действительного числа. Их графики и свойства.

5. Лемма о показателе, с которым входит простое число в разложение n!. Следствие из него.

6. Мультипликативные функции. Примеры мультипликативных функций. Свойства.

7. Количество и сумма натуральных делителей натурального числа.

8. Функция Мёбиуса. Свойства функции Мёбиуса, формулы обращения.

9. Функция Эйлера. Свойства функции Эйлера. Формулы сложения и умножения.

10 . Теорема Чебышева.

11. Лемма о показателе, с которым входит простое число в разложение n!. Следствие из него.

12. Теорема Чебышева.

13. Лемма о связи функций и .

14. Понятие сравнимости целых чисел. Свойства сравнений. Классы вычетов по модулю m.

15. Полная система вычетов. Свойства полных систем вычетов.

16. Приведённая система вычетов. Свойства приведённых систем вычетов.

17. Теоремы Эйлера и Ферма (малая).

18. Сравнения с одним неизвестным, его степень. Решение сравнений. Равносильные сравнения.

19. Теорема о сравнении первой степени. Метод Эйлера.

20. Китайская теорема об остатках, дополнение к ней.

21. Число решений сравнения по простому модулю. Критерий простоты числа.

22. Квадратичные вычеты и невычеты по mod p. Теорема о числе квадратичных вычетов и невычетов.

23. Символ Лежандра и его свойства. 2 леммы Гаусса. Символ Якоби.

Вопросы для проведения экзамена в 7 семестре.

1. -функция Римана, леммы об абсолютной сходимости и нули в полуплоскости >1.

2. Тождество Эйлера.

3. Нули -функции.

4. Лемма о нулях -функции на прямой Re s=1.

5. Лемма об оценке модуля логарифмической производной -функции.

6. Доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.

7. Лемма о вычислении интеграла .

8. Лемма о функции .

9. Лемма о связи функций и R(x).

10. Простейшие случаи теоремы Дирихле.

11. L-функция Дирихле: определение и простейшие случаи.

12. Характеры Дирихле: определение и свойства, примеры характеров.

13. Теорема о числе характеров по заданному модулю.

14. Теорема о сумме характеров.

15. Лемма об оценке сумматорной функции.

16. Свойства L-функции Дирихле.

17. Представление L-функции в виде эйлеровского произведения. Следствие.

18. Неравенство нулю L-функции в точке s=1.

19. Лемма о логарифмической производной L-функции.

20. Доказательство теоремы Дирихле.

21. Поле алгебраических чисел.

22. Симметрические многочлены, элементарные симметрические многочлены.

23. Приближение действительных чисел рациональными числами.

24. Теорема Дирихле.

25. Теорема о бесконечности множества неравенства .

26. Теорема Лиувилля.

27. Теорема о бесконечности множества неравенства .

28. Теорема о трансцендентности числа e.

29. Теорема о квадратичной иррациональности числа e.

30. Тождество Эрмита.

31. Трансцендентность числа .

32. Теорема Линдемана.

ФОС для проведения промежуточной аттестации одобрен на заседании кафедры компьютерной алгебры и теории чисел (протокол № 1 от 01.01.2001г).

Автор:

к. ф-м. н., доцент