ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛОВЫХ ФАКТОРОВ И РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ВАЛОВ МЕТОДАМИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ В МЕСТАХ УСТАНОВКИ РАДИАЛЬНО-УПОРНЫХ ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ
Во всех справочниках и учебниках радиальные реакции в радиально-упорных подшипниках качения принимается приложенными к валам в точках пересечения нормалей, проведенных через середины контактных площадок с осями валов. Расстояние “а” между этой точкой и торцом подшипника (см. рис.1,2,3,4) приближенно может быть определено по следующим формулам:
для однорядных радиально-упорных шариковых подшипников
а = 0.5 [ В + (d + D) tg α];
для однорядных конических роликоподшипников
а = Т / 2 + ( (d + D ) e ) / 3
Величины ширины В и монтажной высоты Т подшипников, а также 
диаметров d и D принимают из каталога.
На четырех рисунках (рис 1,2,3 и 4) показаны варианты реакций опор и 
эпюр изгибающих моментов на валы по данным рекомендациям. Видна явная 
некорректность с физической точки зрения данных рекомендаций. Участки валов с напрессованными на них внутренними кольцами подшипников чаще всего являются наиболее опасными по усталостной прочности. А по данным рекомендациям в районе посадки подшипника на валу либо нет изгибающего 
момента ( рис.2 и 3 ), либо, как это видно на рис1 и 4, изгибающие моменты имеются на участках валов где их не должно быть.
Мы считаем, более корректно приводить усилия на вал от радиально-упорных подшипников к середине ширины внутреннего кольца с моментом от
осевой составляющей нагрузки на подшипник – F A
M A = F A A· R A M B = F AB · R B,
где осевые составляющие определяются из силовых треугольников в предположении что равнодействующие усилий на подшипники направлены под номинальными значениями углов контакта подшипников - α
F AA = F RA · tg(α) F AB = F RB · tg(α)
На четырех рисунках – рис 5,6,7 и 8 показаны варианты реакций опор и эпюр изгибающих моментов на валы по нашим рекомендациям. В этом случае имеются изгибающие моменты и усилия на валах в местах посадки подшипников качения. По этим усилиям и изгибающим моментам можно проводить расчет валов как на прочность, так и на контактные деформации в 
сопряжении внутреннего кольца подшипника с валом.
Так как внутреннее кольцо радиально-упорного подшипника фиксируется по двум поверхностям: по цилиндрической поверхности вала в радиальном направлении и по торцевой поверхности упорного буртика в осевом направлении, то задача определения контактных напряжений в сопряжении внутреннего кольца подшипника с валом становится статически неопределимой. Какую-то долю изгибающего момента возьмет на себя цилиндрическая часть вала, а какую-то упорный буртик вала.
При раскрытии статической неопределимости сделаем несколько допущений:
1. внутреннее кольцо подшипника абсолютно жесткое на изгиб, но контактно податливое; 2. внутреннее кольцо подшипника фиксируется в осевом направлении только упорным буртиком вала; 3. контактна жесткость принимается линейно-упругой –Винклеровское основание.
Тогда, на основании рис 9 элементарный изгибающий момент на цилиндрической части вала
В силу симметрии определяем полный изгибающий момент на цилиндрическую часть вала
Отсюда максимальные напряжения от изгиба цилиндрической части вала
здесь d – диаметр вала в месте посадки подшипника;
l -- ширина внутреннего кольца подшипника;
Если принять значение линейной радиальной жесткости в контакте кольца подшипника с валом–СВ, а высоту деформируемого участка вала равной толщине вала – δ В, то для максимального значения радиальной деформации вала при изгибе получим
∆ В = ( 
/ СВ ) · δ В
тогда для угла перекоса внутреннего кольца подшипника как абсолютно жесткого, но контактно податливого, получим
φ В = ∆ В / (l/2) = 6 · (M B / СВ ) · (δ В / (l3 ·d ))
Упорный буртик также сопротивляется повороту внутреннего кольца подшипника. Если этот момент сопротивления повороту обозначить – М Б, то для максимальных напряжений в контакте кольца и буртика получим
σ Б = М Б / W Б = М Б / ((π · D3 / 64) · ( 1 – (d/D)4 ))
Если принять значение линейной осевой жесткости в контакте кольца подшипника с буртиком вала–С Б, а длину деформируемого участка буртика вала равной его толщине – δ Б, то для максимального значения осевой деформации буртика вала при изгибе получим
∆ Б = (σ Б / СБ ) · δ Б
тогда для угла перекоса внутреннего кольца подшипника как абсолютно жесткого, но контактно податливого в контакте только с буртиком, получим
φ Б = ∆ Б / (D/2) = (64/π) · (M Б / СБ ) · (δ В / (D4 ·( 1 – (d/D)4 ))
Из условия совместности деформаций
φ Б = φ В
находим соотношения моментов по контактным поверхностям
Из условия равновесия, например на левой опоре следует
М Б + М В = М A
Решая это уравнение, находим доли изгибающего момента, приходящиеся:
на контактные поверхности вала:
на цилиндрическую часть
на буртик
После того как определили изгибающие моменты, действующие на контактные поверхности вала и буртика, можно по выше приведенным соотношениям определить контактные деформации и напряжения. По напряжениям оценить прочность вала по изгибной усталости, а по деформациям на значить потребный натяг внутреннего кольца подшипника при монтаже из условия не раскрытия стыков при работе изделия.
На рис 10 11 и 12 изображены эскизы двухточечного подшипника качения в условиях перекоса колец и принятая для него система координат. По методике, разработанной еще в 1969 году, исследовалось влияние комбинаций (сочетаний) осевой и радиальной нагрузок на значение изгибающих моментов на валы в местах установки двухточечного подшипника, если радиальную составляющую полного усилия на подшипник приводить к валу в середине ширины посадочного места внутреннего кольца подшипника.
Математические зависимости в докладе не приводятся а приводятся результаты расчетов в безразмерном виде плеча изгибающего момента при различном сочетании нагрузок и соотношений осевой и радиальной составляющих полного усилия на двухточечный шариковый подшипник качения. На рис 13 показаны результаты расчетов для подшипника без перекоса колец, а на рис 14 для подшипника с перекосом колец при монтаже его.
На рис 13 видно, что максимальный изгибающий момент на вал в месте установки подшипника бывает при угле ψ=(30…40 )o, где угол ψ это угол между вектором полного усилия на подшипник и его радиальной составляющей. На рис 14 видно, что и величина и даже направление изгибающего момента на вал при перекосе колец подшипника носит совершенно другой характер. При этом если нет перекоса колец, то величина нагрузки не существенно влияет на характер изгибающего момента. В то время как при перекосе колец величина нагрузки может существенно изменить и величину и направление изгибающего момента на вал.
Очевидно, что рассчитывать изгибающий момент на вал в местах установки подшипников нужно при совместном расчете упругой системы - “вал-подшипники”.
