ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
ЧАСТЬ 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ.
ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Задача 3.1.1.
Дано распределение двумерного случайного вектора (ξ, η) с дискретными компонентами. Требуется:
1) Найти одномерные распределения случайных величин ξ и η , их математические ожидания M ξ , M η и дисперсии D ξ , D η;
2) Доказать независимость случайных величин ξ и η. Вычислить непосредственно их корреляционный момент Кξη
Решение.
Одномерные распределения случайных величин ξ и η.
Математические ожидания M ξ , M η
Дисперсии D ξ , D η
Корреляционный момент (он же – ковариация) вычисляется по формуле:
Такие случайные величины называются некоррелированными (независимыми).
Задача 3.1.2.
Вычислить математическое ожидание Мθ и дисперсию Dθ случайной величины θ двумя способами: на основании свойств математического ожидания и дисперсии и непосредственно – по ряду распределения θ.
Θ = αξ + β η,
Где ξ, η – дискретные случайные величины из п. 3.1.1.,
α = 14 – 30 = –16, β = 14 (по номеру варианта).
Решение.
Вычислим все значения случайной величины.
Составим ряд распределения.
Вычислим математическое ожидание Мθ и дисперсию Dθ случайной величины θ двумя способами.
Задача 3.2.
Дана плотность распределения f ξ (х) непрерывной случайной величины ξ .
Найти плотность распределения НСВ η = φ(ξ) и ее математическое ожидание Мη.
Решение.
Плотность распределения непрерывной случайной величины.
Чтобы найти функцию распределения вычислим первообразную.
НСВ
Функция 
определена для всех 
.
Множество значений 
.
Задача 3.3.
Случайный вектор (ξ,η) распределен равномерно в области G, изображенной на рис.
1) Найти плотность распределения вероятностей компонент случайного вектора и решить вопрос об их зависимости или независимости.
2) Выяснить, коррелированы ли компоненты случайного вектора (ξ,η).
3) Найти Р{(ξ,η) € D}, где D = {(x, y)│ x2 + y2 ≤ 1}.
Решение.
Учитывая свойство плотности распределения, 
Площадь области можно вычислить как сумму площадей 3-х прямоугольных треугольников.
Значит, плотность распределения:
Границы области.
Найдём плотность распределения вероятностей компонент случайного вектора.
Обход области.
Обход области.
2) Зависимы, т. к. не выполняется необходимое условие независимости.
Чтобы выяснить, коррелированны ли компоненты случайного вектора, необходимо вычислить все характеристики.
Зависимость прямая, очень сильная.
