ФОРМУЛЫ ТИПА КЛОСТЕРМАНА ДЛЯ КОЛИЧЕСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧИСЕЛ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ
(Ташкентское ВОКУ)
В книге известного американского математика Д. Мамфорда [3, с. 98] поставлена следующая проблема:верно ли, что любая параболическая форма веса 
равна полиному степени 
от функции 
?
Здесь 
- тэта-функции с 
рациональными характеристиками
,
Пусть
(1)
– целочисленная положительная (положительно определенная) квадратичная форма, так что 
и
суть целые числа.
Пусть 
натуральное число. Обозначим через
количество представлений числа квадратичной формой (1).
,
или, что то же самое, количество решений диофантового уравнения 
в целых числах 
.
Задача отыскания формулы для функции 
с помощью теории модулярных форм[4] сводится к задаче отыскания формул для соответствующего тэта-ряда
, (2)
где 
-комплексная переменная с 
> 0.
Тэта-ряд представляется в виде суммы двух слагаемых [1]
, (3)
где
(4)
- ряд Эйзенштейна,
(5)
- параболическая форма.
Из равенств (2)-(5) можно вывести «универсальную точную» формулу
(6)
Определение. Если число представлений чисел данной положительно определённой квадратичной формой с числом переменных, больше или равным 2, равно сумме сингулярного ряда Харди-Литтлвуда, соответствующего данной форме (в случае бинарных форм берётся 
сингулярного ряда) плюс дополнительный член, равный коэффициенту при 
в разложении в ряд по степеням 
суммы (конечной) произведений некоторых тэта-функций Якоби или тэта-функций с характеристиками, то квадратичную форму (1) называют формой типа Клостермана, а формулу (6) для количества представлений ею – формулой.
В статье дается нахождение формул типа Клостермана для количества представлений чисел квадратичными формами 
с использованием результатов решения проблемы Мамфорда[5].
Теорема. При всех 
для количества представлений натурального числа 
квадратичной формой 
имеет место равенство
Здесь
(7)
определяется формулой [2,с.22,94]
.
Литература
1. Kloosterman H. D. On the representation of numbers in the form
// Proceedings of the London. Matem. Society. - 1926. - Ser.2. - V. 25. - P.143 - 173.
2. О представлении целых чисел положительно определенными квадратичными формами. – Ташкент: Фан. – 1971. – 188с.
3. екции о тэта-функциях (Перевод с англ. , под ред. ). – М.: Мир. – 1988.-448с
4. , Коган чисел квадратичными формами. – Ташкент: Фан. – 1993. - 112 С.
5. Ташпулатов для количества представлений натурального числа квадратичной формой // Узбекский математический журнал. – Ташкент: – 1997. - № 2. – С.79-88.
