Задача
Два игрока играют в следующую игру. На доске записано число 2. Ход состоит в том, что текущее число х на доске стирается. А вместо него записывается одно из трех чисел: х+3; х+5; и 2х. Выигрывает игрок, после хода которого на доске оказывается число. Большее 20. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – начинающий или второй игрок? Ответ обоснуйте.
Задача
Даны три горки фишек, содержащие соответственно 3,2 и 1 фишку. За один ход разрешается или утроить кол-во фишек в какой-нибудь горке, или добавить по 3 фишки в каждую из трех горок. Выигрывает тот игрок после чьего хода в каких-либо двух горках суммарно становится не менее 30 фишек. Два игрока ходят по очереди. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – начинающий или второй игрок? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Задача
Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале фишка находится в точке с координатами (-2;1). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (х;у) в одну из трех точек (х+4;у); (х;у+3); (х+2;у+2). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0;0) не меньше 9 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Дополнительная задача
Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой – 4 камня, а во второй – 3 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в любой куче. Или добавляет 2 камня в какую-то кучу. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 24 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Задача и её решение
Два игрока играют в следующую игру. На доске записано число 2. Ход состоит в том, что текущее число х на доске стирается. А вместо него записывается одно из трех чисел: х+3; х+5; и 2х. Выигрывает игрок, после хода которого на доске оказывается число. Большее 20. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – начинающий или второй игрок? Ответ обоснуйте.
Исход | 1 ход 1 игрока | 1 ход 2 игрока | 2 ход 1 игрока | 2 ход 2 игрока |
2 | 5 | 8 | 11 | Умножением на 2 получаем выигрыш |
13 | ||||
16 | ||||
10 | 13 | |||
15 | ||||
20 | ||||
10 | Такой вариант рассмотрен | выигрыш | ||
7 | 10 | Такой вариант рассмотрен | выигрыш | |
12 | 15 | Данный вариант не рассматриваем. Так как это победа соперника | ||
17 | ||||
24 | ||||
14 | 17 | Данный вариант не рассматриваем. Так как это победа соперника | ||
19 | ||||
28 | ||||
4 | 7 | 10 | Данный вариант не рассматриваем. Так как это победа соперника | |
12 | ||||
14 | ||||
9 | 12 | Умножением на 2 получаем выигрыш | ||
14 | ||||
18 | ||||
8 | 11 | Умножением на 2 получаем выигрыш | ||
13 | ||||
16 |
ВЫВОД: выигрывает второй игрок после любого хода первого игрока, если первый ход второго игрока будет 8 или 10 или 9
Задача и её решение
Даны три горки фишек, содержащие соответственно 3,2 и 1 фишку. За один ход разрешается или утроить кол-во фишек в какой-нибудь горке, или добавить по 3 фишки в каждую из трех горок. Выигрывает тот игрок после чьего хода в каких-либо двух горках суммарно становится не менее 30 фишек. Два игрока ходят по очереди. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – начинающий или второй игрок? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Исход | 1 ход 1 игрока | 1 ход 2 игрока | 2 ход 1 игрока |
3,2,1 | 9,2,1 | 27,2,1 | Утроив наибольший результат все варианты приводят к выигрышу |
9,6,1 | |||
9,2,3 | |||
12,5,4 | |||
3,6,1 | 9,6,1 | Утроив наибольший результат все варианты приводят к выигрышу | |
3,18,1 | |||
3,6,3 | ? | ||
6,9,4 | выигрыш | ||
3,2,3 | 9,2,3 | выигрыш | |
3,6,3 | ? | ||
3,2,9 | выигрыш | ||
6,5,6 | |||
6,5,4 | 18,5,4 | Утроив наибольший результат все варианты приводят к выигрышу | |
6,15,4 | |||
6,5,12 | |||
9,8,7 |
ВЫВОД: первый игрок выиграет на третьем ходу, если его первый ход будет 9,2,1 или 6,5,4.
Задача и её решение
Два игрока играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди. В начале фишка находится в точке с координатами (-2;1). Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами (х;у) в одну из трех точек (х+4;у); (х;у+3); (х+2;у+2). Выигрывает игрок, после хода которого расстояние по прямой от фишки до точки с координатами (0;0) не меньше 9 единиц. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.
Исход | 1 ход 1 игрока | 1 ход 2 игрока | 2 ход 1 игрока | 2 ход 2 игрока |
-2,1 | 2,1 | 6,1 | 10,1 | Не рассматривается, так как приводит к победе соперника |
6,4 | ||||
8,3 | ||||
2,4 | 6,4 | Приводит к победе | ||
2,7 | ||||
4,6 | ||||
4,3 | 8,3 | Приводит к победе | ||
4,6 | ||||
6,5 | ||||
-2,4 | 2,4 | 6,4 | Приводит к победе | |
2,7 | ||||
4,6 | ||||
-2,7 | 2,7 | Не рассматривается, так как приводит к победе соперника | ||
-2,10 | ||||
0,9 | ||||
0,6 | 4,6 | Не рассматривается, так как приводит к победе соперника | ||
0,9 | ||||
2,8 | ||||
0,3 | 4,3 | 8,3 | Приводит к победе | |
4,6 | ||||
6,5 | ||||
0,6 | 4,6 | Не рассматривается, так как приводит к победе соперника | ||
0,9 | ||||
2,8 | ||||
2,5 | 6,5 | Приводит к победе | ||
2,8 | ||||
4,7 |
ВЫВОД: Выигрывает второй игрок, если первый ход второго игрока будет (2,4), (4,3), (2,5)
