Задачи

1. Как с помощью датчика независимых случайных величин, имеющих равномерное распределение на интервале [0, 1], получить последовательность независимых случайных величин, подчиняющихся закону Лапласа

2. При каком значении параметра для сигнала , приведенного на рисунке, можно получить наибольшее отношение сигнал/шум? Каким оно будет? Помехой является аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ) со спектральной плотностью мощности .

3. Для фильтрации прямоугольного радиоимпульса на фоне белого шума со спектральной плотностью мощности используется фильтр, согласованный с прямоугольным видеоимпульсом. Какой должна быть длительность этого импульса, чтобы получить при фильтрации сигнала максимальное отношение сигнал/шум? Каким оно будет? Как изменится результат, если

4. На входе фильтра, согласованного с сигналом , где , действует белый гауссовский шум со спектральной плотностью мощности . С выхода фильтра берутся два отсчета, разнесенные по времени на интервал , отсчеты суммируются. Построить зависимость дисперсии шума от параметра .

5. Сигнал , обнаруживается на фоне аддитивного нормального случайного процесса со спектральной плотностью мощности . где и фиксировано. Построить зависимость вероятности правильного обнаружения от параметра сигнала при фиксированном значении вероятности ложной тревоги.

6. Сигнал вида наблюдается на фоне аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ) со спектральной плотностью мощности . Найти максимально правдоподобную оценку количества импульсов в пакете.

7. Сигнал , где и аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ) со спектральной плотностью мощности подаются на согласованный фильтр, реализованный в виде последовательного включения фильтра, согласованного с одиночным импульсом (СФОИ) и линии задержки с отводами и весовым суммированием сигналов с отводов. Обрыв какого отвода приведет к наибольшему уменьшению отношения сигнал/шум на выходе? Каким оно будет, если момент взятия отсчета ? В какой момент времени надо брать отсчет, чтобы при наличии обрыва получить максимально возможное отношение сигнал/шум? Нарисуйте качественно вид выходного сигнала при наличии и отсутствии обрыва.

8. Передаваемый сигнал где равновероятно принимает значения или . Найти максимально правдоподобный алгоритм определения того, какой длительности сигнал передавался. Определить вероятность ошибки. Помехой является аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ) со спектральной плотностью мощности .

9. Сколько импульсов должна содержать пачка , где чтобы ее можно было обнаружить на фоне аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ) со спектральной плотностью мощности с вероятностями ложной тревоги Рлт и пропуска сигнала Рпс.

10. Сигнал , где равновероятно принимает значения , передается с вероятностью ½ по каналу с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) со спектральной плотностью мощности . Определить максимально правдоподобный алгоритм обнаружения факта передачи сигнала и оценки его временного сдвига . Сигнал , выполняется условие . Определить вероятности ложной тревоги Рлт и пропуска сигнала Рпс, пользуясь аддитивной границей, оценить вероятность ошибки при определении временного сдвига передаваемого сигнала.

11. В передаваемом сигнале , наблюдаемом на фоне аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ) со спектральной плотностью мощности , коэффициенты - независимые случайные величины равновероятно принимающие значения . Найти максимально правдоподобную оценку коэффициентов . Считая, что отношение сигнал/шум, приходящееся на одиночный импульс , определить вероятность ошибки, используя аддитивную границу.

Тестовые задания

Т1. Стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым средним x(t) преобразуется в случайные процессы y1(t)=cos x(t) и y2(t)=sin x(t). Отсчеты, взятые из процессов y1(t) и y2(t) в совпадающие моменты времени являются:

а) коррелированными и зависимыми;

б) коррелированными и независимыми;

в) некоррелированными и зависимыми;

г) некоррелированными и независимыми;

д) некоррелированными и независимыми только если x(t) является белым шумом.

Т2. Для какого из трех, приведенных на рис. сигналов, имеющих одинаковую энергию, можно обеспечить большее отношение сигнал-шум с помощью интегрирующей RC–цепи с постоянной времени на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности .

а) для первого;

б) для второго;

в) для третьего;

г) для первого и второго;

д) одинаково для всех трех.

Т3. На последовательный колебательный RLC контур подается напряжение . При этом амплитуда напряжения на индуктивности составляет 5 В, амплитуда напряжения на конденсаторе 2В, а на резисторе 4В. Найдите амплитуду напряжения генератора U, если номинал конденсатора составляет 1 мкФ.

а) 5В;

б) 25В;

в) 11В;

г) 7В;

д) для решения задачи необходимо знать номиналы резистора и индуктивности.

Т4. Сигнал , обрабатывается с помощью согласованного фильтра. Малокомпетентный разработчик, желая улучшить качество обработки сигнала, берет равноотстоящих отсчетов с выхода согласованного фильтра на интервале и накапливает их. Как зависит отношение сигнал/шум в накопленных статистиках от числа отсчетов ?

а) возрастает пропорционально n2;

б) возрастает пропорционально n;

в) возрастает пропорционально ;

г) не зависит;

д) убывает.

Т5. При записи выражения для коэффициента передачи согласованного фильтра студент ошибся и упустил знак комплексного сопряжения для спектра сигнала. Для каких сигналов указанная ошибка не будет иметь последствий?

а) для четных функций времени;

б) для нечетных функций времени;

в) для чисто вещественных сигналов;

г) для чисто мнимых сигналов и нечетных;

д) ошибка никак не скажется.