УДК 517.977
Разностный метод решения задачи оптимального управления для уравнения Шредингера с чисто мнимым коэффициентом в нелинейной части этого уравнения
Нахичеванский государственный университет (Азербайджан)
AZ7012, Нахичевань, ул. А. Алиева, 1
Рассматривается вопрос сходимости разностного метода при решении задачи оптимального управления для уравнения Шредингера с чисто мнимым коэффициентом в нелинейной части уравнения, когда множество допустимых управлений состоит из ограниченно измеримых функций, имеющих квадратично суммируемые обобщенные производные первого порядка.
Введение
При численном решении задач оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера, которые часто встречаются в нелинейной оптике, теории сверхпроводимости и в других областях современной физики, техники [1–2] ,важное место занимает вопрос сходимости разностного метода. В данной работе этот вопрос изучается в свете решения задачи оптимального управления для уравнения Шредингера с чисто мнимым коэффициентом в нелинейной части уравнения с критерием качества Лионса, когда множество допустимых управлений входит в класс ограниченно измеримых функций, имеющих квадратично-суммируемые производные. Следует отметить, что подобные вопросы в отмеченной постановке ранее изучены в работах [3–8] и др., в задачах оптимального управления для уравнений Шредингера
. Ввиду того, что изученная в этой работе задача по постановке отличается от ранее изученных, исследование вопроса сходимости разностных аппроксимаций задачи оптимального управления для нелинейного уравнения Шредингера представляет немалый интерес.
1. Постановка и дискретизация задачи
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления о минимизации функционала:
(1)
на множестве
при условиях
(2)
, (3)
, (4)
, (5)
где 
заданные числа, 
, а функции 
удовлетворяют условиям
, 
, 
, 
, (6)
(7)
(8)
При принятых предположениях можем установить, что краевая задача (2)–(5) при каждом 
имеет единственное решение:
,
и справедливы оценки
, (9)
, (10)
для 
, где 
и 
– постоянные, зависящие только от данных задачи (2)–(5). Наряду с этими выражениями (1)–(5) можем установить, что задача оптимального управления (1)–(5) имеет хотя бы одно решение, т. е.
.
Дадим физическую интерпретацию задачи оптимального управления (10)–(5). Как указано было выше, нелинейное уравнение Шредингера возникает в нелинейной оптике, например при изучении распределения световых волн (пучков) в нелинейной среде. Если волна распространяется вдоль оси t, то в зависимости от среды распространения комплексная амплитуда электрического поля волны в одномерном случае может описываться уравнением [2]
(11)
где 
– мнимая единица, 
– заданные вещественные числа, 
– волновая функция, комплексная амплитуда электрического поля волны, 
– переменная расстояния, 
– заданное число, 
-пространственная переменная, 
– заданное число, 
– коэффициент преломления среды, 
– нелинейный показатель поглощения, 
– неизвестная часть показателя преломления среды, которая возникает при прохождении световых волн через среды с неизвестным показателем преломления. Поэтому при изучении этих процессов возникает необходимость определения пары 
, т. е. показателя преломления и комплексной амплитуды электрического поля световых волн. Другими словами, нам необходимо решить обратную задачу определения коэффициента в уравнении (11). Для однозначного определения решения уравнения (11) при заданных к этому уравнению обычно присоединяются начальное и краевое условия вида
(12)
или 
(13)
где 
– заданная функция или функция, описывающая начальный фазовый профиль распределения световых волн.
Для определения к уравнению (11) наряду с условиями (12) или (13) присоединено дополнительное условие, которое может быть задано различными способами. С этой целью используем способ, который впервые был применен в работе [9] для нахождения неизвестной начальной функции в обратной задаче для уравнения теплопроводности, а потом в работе [10] для определения коэффициентов уравнений математической физики.
Рассмотрим две начально-краевые задачи для уравнения (11), содержащего одинаковые неизвестные функции , при определении функции 
из условий (11), (12) при 
и функции 
из условий (11), (13) при 
. Для определения используем дополнительное условие вида
(14)
В результате получим обратную задачу об определении функции 
из условий (2)–(4), (14). Для решения этой обратной задачи будем применять вариационный метод. С этой целью сначала определяем класс неизвестных функций . На практике эти функции оказываются ограниченно измеримыми функциями, имеющими квадратично суммируемую обобщенную производную. Поэтому класс функций или множества допустимых функций выбираем в виде
где 
– заданные числа.
Известно, что вариационный метод решения обратных задач основывается на вариационной постановке задачи, которая заключается в минимизации функционала (1), построенного на основе дополнительного условия (14), на множестве 
при условиях (2)–(5). Таким образом, с помощью вариационной постановки обратной задачи (2)–(5), (14) получим задачу оптимального управления (1)-(5), к решению которой должны применить разностный метод.
Нашей целью в данной работе является исследование разностной аппроксимации задачи (1)–(5). Поэтому сначала проведем дискретизацию задачи. Введем последовательность сеток:
,
.
Обозначим
.
При каждом натуральном 
рассмотрим задачу о минимизации функции
(15)
на множестве
при условиях
, (16)
, (17)
, (18)
, (19)
где сеточные функции 
определяются формулами
, (20)
, (21)
(22)
.(23)
Теорема 1. Для решения разностной схемы (16)–(19) при 
верны оценки
,
(24)
для 
, где 
– постоянная, которая не зависит от 
.
Доказательство. Ясно, что на всех слоях 
система (16)–(19) эквивалентна следующим сумматорным тождествам:
(25)
для любых сеточных функций 
, определенных на сетке 
, удовлетворяющих условиям
,
где 
, , есть изменение сопряжения сеточных функций . Если в этих сумматорных тождествах вместо возьмем
и вычтем из них комплексные сопряжения, а полученные равенства суммируем по 
от 
до 
, получим справедливость неравенства:
,
и для . Далее, отсюда нетрудно получить справедливость следующей оценки:
, . (26)
Теперь обе части равенств (16) умножим на сеточные функции 
, 
, и полученные равенства просуммируем по 
от до 
. Тогда имеем
, 
. (27)
Используя формулу суммирования по частям и условия (18) при 
, из последних равенств имеем
, 
. (28)
Аналогично, используя условия (22) из (27) при 
, имеем
, . (29)
Если из (28) и (29) вычтем соответственно их комплексные сопряжения и используем неравенства
, (30)
то, суммируя полученные равенства по от до 
, получим следующие неравенства:
, 
, (31)
. (32)
Используя (31), оценим 
. С этой целью применяя неравенство Коши с 
и выбирая 
, получим справедливость неравенства
(33)
.
В этом неравенстве оценим второе слагаемое правой части. Действительно, имеем
(34)
Отсюда имеем
(35)
для .
В силу этого неравенства, оценки (24) при 
и леммы Горноулла получается справедливость неравенства
, 
.
. (36)
В силу этой оценки и оценки (26) получим следующую оценку:
(37)
для .
Выполняя аналогичные операции, из (29) получим справедливость следующей оценки:
(38)
для . Из оценок (37) и (38) получим утверждение теоремы.
Теорема 1 доказана.
Отметим, что если 
то из (24) получим оценку устойчивости разностной схемы для линейного уравнения Шредингера.
2. Оценка погрешности разностной
схемы
Выше была приведена оценка устойчивости разностной схемы (16)–(19). Теперь оценим погрешность аппроксимации разностной схемы (16)–(19) при каждом 
. С этой целью рассмотрим следующие усреднения решения редуцированной задачи (2)–(5) при 
:
,
где 
, определяются формулами
(39)
Кроме того, определим оператор 
на множестве по формуле
. (40)
Обозначим
.
Ясно, что 
, будут решением следующей системы:
(41)
, (42)
, (43)
, (44)
где сеточные функции 
, определяются формулами
(45)
Теорема 2. Пусть 
при 
удовлетворяет условию
. (46)
Пусть, кроме того, выполнено условие согласования: 
, где 
, 
– постоянные, не зависящие от 
и 
. Тогда верны оценки
,
(47)
для 
, где 
, при 
и
.
Доказательство. С помощью метода сумматорных тождеств и условия (45) можем установить справедливость оценки:
, , (48)
для , где 
– постоянная, не зависит от ..
Сеточную функцию 
, представим в виде
(49)
где
, (50)
,(51)
,(52)
, (53)
(54)
.
Можем установить справедливость следующих неравенств:
, (55)
где 
при 
.
, (56)
где 
, 
при 
.
(57)
(58)
(59)
для 
.
Тогда в силу оценок (6), (7) из неравенств (55)–(56) и оценок (48) получим справедливость следующих неравенств:
для 
, откуда следует утверждение теоремы.
Теорема 2 доказана.
3. Сходимость разностных
аппроксимаций по функционалу
Для установления сходимости разностных аппроксимаций по функционалу сначала оценим разность исходного функционала (1) и дискретной функции (15). Используя утверждения теоремы 2, можно доказать следующую теорему.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для 
и 
имеет место оценка
.(60)
Для установления оценки сходимости по функционалу сначала докажем две вспомогательные леммы.
Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 3. Пусть, кроме того, оператор 
определяется формулой
,
.
Тогда 
и имеет место оценка
. (61)
Пусть оператор 
определяется формулой
(62)
Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 3, оператор определяется формулой (44). Тогда действует из 
на , т. е. 
, и имеет место оценка
. (63)
Доказательство. Пусть 
– произвольное дискретное управление. Сначала покажем, что 
. Действительно, из структуры множества ясно, что
.(64)
Из формулы (62) ясно, что функция 
имеет обобщенную производную 
, которая имеет вид
.(65)
Поэтому
.
Следовательно,
. (66)
Теперь рассмотрим . В силу формулы (47) имеем
. (67)
Для точек 
, 
находим
.(68)
Ясно, что для 
,
.
Тогда с учетом этих соотношений из (67) получаем
.
Таким образом, нами доказано, что
. (69)
Из (66) и (69) заключаем, что 
, т. е. 
. Тогда, выбирая управление 
вместо допустимого управления 
и проводя доказательство теоремы 3, получим справедливость неравенства
(70)
Теперь рассмотрим второе слагаемое правой части этого неравенства:
Следовательно,
.
Если учесть это неравенство в (70), получим справедливость неравенства
.
Учитывая формулу
в последнем неравенстве, получим утверждение леммы. Лемма 2 доказана.
Теперь сформулируем теорему о сходимости разностных аппроксимаций по функционалу в задаче (1)–(5).
Теорема 4. Пусть выполнены условия леммы 1 и леммы 2. Пусть, кроме того, 
– решение задачи оптимального управления (1)–(5), а 
– решение дискретной задачи оптимального управления (15)–(19), т. е.
,
.
Тогда последовательность разностных задач (15)–(19) аппроксимирует задачу (1)–(5), т. е.
, (71)
и справедлива оценка сходимости:
. (72)
Доказательство этой теоремы проводится методикой из работы [13].
Список литературы
1. Теория сверхпроводимости. Основы и приложения. М.: Мир, 1975. 361 с.
2. , Принципы адаптивной оптики. М.: Наука, 1985. 336 с.
3. , , Аппроксимация и регуляризация задачи оптимального управления типа Шредингера // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1987. №1. С.8–13.
4. Аппроксимация задач управления для нелинейного уравнения Шредингера // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1988. №2. С.28–33.
5. Применение проекционно-разностного метода в задачах наблюдения и управления для уравнения типа Шредингера // Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. 1986. №1. С.42–52.
6. Разностный метод решения задачи оптимального управления коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера // Матем. моделирование и автоматизированные системы. Баку: Изд-во Бакинск. ун-та. 1990. С.53–60.
7. Оптимальное управление коэффициентом квазилинейного уравнения Шредингера: автореф. докт. дис. Кие,. 1994.
8. Разностный метод решения задачи оптимального управления кванто-механической системой с функционалом Лионса // Тр. ИММ АН Азербайджана. 1997. Т. VII (XV). С.79–82.
9. –Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 412 с.
10. О вариационных постановках многомерных обратных задач математической физики // ДАН СССР. 1984. Т.274, №3. С.531–533.
11. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.
Difference method of solution of an optimal control problem for Schrödinger’s equation with pure imaginary coefficient in the nonlinear part of the equation
N. M. Mahmudov
The Nakhichevan State University (Azerbaijan), AZ7012, Nahichevan, st. A. Aliev, 1
In the given work the question of convergence разностного a method for the decision of a task of optimum control for Schrodinger’s equation with only imaginary factor in a nonlinear part of the equation when the set of allowable managements will consist from is considered is limited the measurable functions having square - summable generalized derivatives of the first order.
© , 2010
