Потенциальная эффективность распознавания пространственных групповых точечных объектов 1

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАСПОЗНАВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУППОВЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОБЪЕКТОВ 1

А. Роженцов2

2Марийский государственный технический университет, 424000, Йошкар-Ола,
пл. Ленина 3. Тел. [phone]. E-mail: *****@***mari. ru

Рассмотрены вопросы прохождения шумовых и зашумленных кватернионных сигналов через линейные кватернионные фильтры. Исследованы законы распределения компонент на выходе кватернионного фильтра и определены их характеристики. Показано, что эффект расщепления гармоник сигнала не влияет на эффективность фильтра. Исследована эффективность согласованного кватернионного фильтра. Правильность полученных результатов подтверждена машинным экспериментом.

Введение

Задачи обработки изображений групповых точечных объектов (ГТО) характерны для широкого круга систем машинного зрения. Во многих случаях одним из этапов обработки изображений ГТО является их распознавание. Однако до настоящего времени в теории распознавания изображений нет ответа на вопрос о предельно достижимых характеристиках таких систем. В работе [2] рассматривается решение задачи определения потенциальных характеристик распознавания изображений, заданных на плоскости, а также кватернионных сигналов, задаваемых отсчетами полных кватернионов.

Целью данной работы является определение потенциальных характеристик распознавания изображений трехмерных объектов с учетом особенностей формирования их аналитических описаний в виде кватернионных сигналов на базе векторных кватернионов.

Характеристики сигналов на выходах формирователей меры схожести при распознавание изображений пространственных ГТО

Модель зашумленного пространственного ГТО. Как показано в работе [2], для аналитического описания пространственных ГТО могут эффективного использоваться дискретные кватернионные сигналы, представляющие собой -мерный вектор , где , , – мнимые единицы, ‑ размерность сигнала.

Обработка кватернионных сигналов, как правило, выполняется в присутствии различных помеховых факторов, приводящих к искажению кода кватернионного контура. Эти искажения часто являются следствием координатных или флуктуационных шумов, хорошо описываемых с помощью аддитивной модели.

Модель шумового пространственного кватернионного сигнала имеет следующий вид:

,

(1)

где ‑ размерность сигнала. Зашумленный контурный сигнал формируется в соответствии с аддитивной моделью:

,

Компоненты шумового вектора являются независимыми нормально распределенными случайными величинами со следующими параметрами:

дисперсией

,

(2)

математическим ожиданием

,

(3)

корреляционной функцией

,

(4)

где ‑ символ Кронекера.

Случайная величина является гиперкомплексной и ее математическое ожидание и дисперсия будут равны:

, ,

(5)

Для нахождения потенциальных характеристик распознавания изображений ГТО необходимо проанализировать статистические характеристики сигналов на выходе формирователя меры схожести, в качестве которого выступает формирователь скалярного произведения при прохождении через него шумового и зашумленного кватернионных контурных сигналов.

Характеристики сигнала на выходе формирователя меры схожести при обработке изображения шумового группового точечного объекта. В этом случае модель зашумленного пространственного кватернионного сигнала имеет следующий вид:

.

Математическое ожидание процесса на выходе фильтра. Найдем статистические характеристики кватернионного контура на выходе линейного фильтра, задаваемого своей импульсной характеристикой и согласованного с сигналом . Фильтр вычисляет набор скалярных произведений между входным и эталонным сигналами, т. е. набор случайных величин вида:

,

(6)

где

(7)

Поскольку , для математического ожидания вещественной и мнимых , , частей получим:

(8)

Аналогично можно определить, что и в результате математическое ожидание величины при фильтрации шумового контура будет равно нулю: .

Дисперсия процесса на выходе фильтра. Для определения дисперсий , , , вещественной и мнимой частей случайной величины запишем выражение для АКФ компонент , , и :

.

(9)

Учитывая дельтокоррелированность случайных величин , , , и их независимость при , получим, что . Аналогично для , , можно показать, что

,

(10)

Корреляционный момент компонент сигнала на выходе кватернионного фильтра. Величина вектора шумового контура на выходе фильтра определяется из выражения (6) и (7). С учетом этого, найдем выражение для корреляционного момента величин , , , . Для величин , выражение для корреляционного момента запишется в виде:

(11)

Анализ приведенного выражения показывает, что . Аналогично можно показать, что

(12)

Таким образом, компоненты гиперкомплексного вектора на выходе фильтра являются некоррелированными случайными величинами. При условии нормального распределения этих компонент они также будут линейно независимыми.

Из выражения (6) и (7) для компонент сигнала на выходе фильтра видно, что они образуются путем суммирования большого количества независимых случайных величин, имеющих нормальные законы распределения. Поэтому законы распределения вероятностей компонент сигнала на выходе фильтра также будут нормальными.

Поскольку одни и те же шумовые компоненты проходят через разные каналы устройства обработки, между реальными частями скалярных произведений и должна существовать корреляционная связь, характеризуемая взаимнокорреляционным моментом

Таким образом, меры схожести распознаваемого сигнала , формируемые на выходах формирователей реальной части скалярного произведения, являются антикоррелироавнными.

Характеристики сигнала на выходе формирователя меры схожести при обработке изображения зашумленного группового точечного объекта.

Математическое ожидание сигнала на выходе кватернионного согласованного фильтра при обработке зашумленного сигнала определяется согласно следующему выражению:

(13)

и равно квадрату нормы эталонного кватернионного контурного сигнала. При этом

, .

(14)

Выражение для отклика фильтра в данном случае имеет вид:

,

(15)

где

(16)

Найдем значение корреляционного момента для величин и . С учетом (17) можно записать:

(17)

После приведения подобных слагаемых окончательно получим . Аналогично можно показать, что

(18)

Как следует из выражения (15), компоненты отклика кватернионного фильтра формируются путем суммирования большого количества случайных величин с нормальными законами распределения вероятностей и поэтому также будут подчиняться нормальному закону распределения.

Полученные параметры сигналов на выходе формирователей меры схожести позволяют определять потенциальные характеристики правильного распознавания пространственных сигналов в соответствии с методикой, изложенной в [2].

Рис.1. Вероятности правильного распознавания симплексных и ортогональных кватернионных сигналов

На рис.1 приведены графики зависимостей предельно достижимых вероятностей правильного распознавания зашумленных пространственных симплексных сигналов от отношения сигнал/шум размерностью (ряд 1) Для сравнения на этих же графиках приведены аналогичные зависимости для алфавита из симплексных кватернионных сигналов на базе полных кватернионов (ряд 3), ортогональных кватернионных сигналов на базе векторных (ряд 2) и полных кватернионов (ряд 4). Как видно из полученных результатов, сигналы на базе векторных и полных кватернионов обеспечивают одинаковые вероятности правильного распознавания.

Заключение

В работе решена задача определения потенциальной помехоустойчивости распознавания изображений пространственных групповых точечных объектов. Для этого рассмотрены модели изображений таких объектов в виде кватернионных сигналов на базе векторных кватернионов, исследовано прохождение зашумленных кватернионных сигналов через линейный фильтр. Показано, что при прохождении через фильтр шумового сигнала компоненты сигнала на выходе фильтра подчиняются нормальному закону, их математическое ожидание и корреляционный момент равны нулю, а дисперсия равна произведению дисперсии шума на квадрат нормы эталонного сигнала. При прохождении зашумленного кватернионного сигнала через фильтр изменяется только математическое ожидание сигнала, которое равно в этом случае квадрату нормы входного сигнала.

Получены потенциальные характеристики распознавания пространственных объектов и показано, что вероятности правильного распознавания кватернионных контурных сигналов на базе векторных и полных кватернионов совпадают.

Литература

1.  , , Злобин и цифровая обработка изображений. – М.: Высшая школа, 1983.

2.  , , Егошина и гиперкомплексные системы в задачах обработки многомерных сигналов/ Под ред. .- Москва: Физматлит, 2004. – 456 с.