Интегрированный урок по теме: «Мгновенная скорость, угловой коэффициент и предельные издержки»

Интегрированный урок по теме:

«Мгновенная скорость, угловой

коэффициент и предельные издержки».

Цель урока: установление причинно-следственных связей между явлениями и понятиями, общих закономерностей при решении задач, из разных областей знаний.

Обучающая: усвоение понятия производной через геометрический, физический и экономический смысл в ходе решения задач из разных наук – физики, экономики и математики.

Развивающая: формирование навыков концептуальных основ мышления, установление причинно-следственных связей между явлениями и понятиями.

Воспитательная: развитие у учащихся целостного восприятия математической науки как основного аппарата для описания физических и экономических явлений.

Это интегрированный урок обобщения и систематизации знаний.

Структура урока.

I.  Постановка цели урока и мотивация учебной деятельности.

II.  Повторение ранее изученного материала.

III.  Анализ основных фактов и понятий.

IV.  Обобщение и систематизация понятий; применение системы зна­ний для объяснения новых фактов и выполнение практических за­даний.

V.  Подведение итогов урока.

VI. Домашнее задание.

Мгновенная скорость, угловой коэффициент и предельные издержки.

I этап. Мотивация учебной деятельности.

Казалось бы, ничего нет общего между понятиями мгновенная скорость, угловой коэффициент и предельные издержки. Одно из них заимствовано из механики, второе ¾ из математики, а третье ¾ из экономики. Что же их объединяет? Чтобы ответить на этот вопрос, мы рассмотрим три задачи, но вначале вспомним такое понятие, как функция.

Функция ¾ это зависимость между двумя переменными, где каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

В экономике рассматриваются производственные функции. Возможности любого производства определяются характером зависимости между объёмом выпускаемой продукции и соответствующими ему затратами сырья, энергии, труда, капиталовложений и т. д. Всевозможные затраты ¾ это факторы производства или ресурсы. Они имеют различные единицы измерения (тонны, метры, киловатт-часы и др.). Единицей измерения ресурсов может служить рубль или др.

Функция, выражающая зависимость между стоимостью выпускаемой продукции и стоимостью суммарных затрат на её производство, называется однофакторной производственной функцией.

Независимая переменная ¾ затраты; зависимая переменная ¾ уровень выпуска.

Пример 1) y = a1x + a0 (a1 > 0; a0 > 0; ), где y ¾ затраты на производство продукции; a0 ¾ условно-постоянные затраты; a1x ¾ условно-переменные затраты.

Пример 2) ¾ затраты на единицу выпускаемой продукции от объёма производства x.

II этап. Повторение ранее изученного материала

Рассмотрим три задачи на нахождение предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

1.  Вычислить мгновенную скорость неравномерного движения материальной точки в данный момент времени t, если закон движения задан функцией f(t)

(Ответ ученика).

Закон движения материальной точки описывается функцией f, выражающей зависимость пути S от времени t:

¾ путь, пройденный точкой к моменту времени t;

¾ путь, пройденный точкой к моменту времени .

За время точка прошла путь .

За время средняя скорость равна .

Скорость движения в каждый конкретный момент времени отличается от средней скорости. Но чем короче отрезок , тем меньше различие между скоростями.

Итак:

2. Вычислить угловой коэффициент касательной к графику функции f(t) в точке с абсцисой .

Определение секущей и касательной.

Секущая ¾ это прямая, проходящая через точки M1(x1; f (x1)) и M2(x2; f (x2 )).

Касательной к графику функции в точке M1 называют предельное положение секущей M1M2 при условии, что точка M2 вдоль кривой стремится к M1. (Можно дать ещё 2 определения касательной.)

Угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой равен:

3. Вычислить предельные издержки производства при объеме производства х если функция затрат задана формулой f(x).

Пусть x ¾ объём производства некоторой продукции.

K ¾ суммарные затраты (издержки производства).

K = f(x) ¾ функция затрат, описывает зависимость издержек производства K от объёма x выпускаемой продукции.

Если объём производства увеличится на единиц, то затраты возрастут на единиц.

¾ среднее приращение издержек.

¾ предельные издержки. (Это дополнительные затраты на производство продукции при увеличении объёма производства на малую единицу, если исходный объём производства ¾ x единиц.)

То есть .

Итак, мы видим, что решение каждой из задач приводит к необходимости нахождения предела отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

III этап. Анализ основных фактов.

Схема решения всех задач следующая.

1)  Аргумент получает приращение ;

2)  Это приводит к изменению значения функции

;

3)  Вычисляется среднее приращение функции ;

4)  Находится .

По этой же схеме можно решать задачи на отыскание плотности тела в данной точке, скорости протекания химических реакции в данный момент времени, теплоёмкости тела при данной температуре, скорости изменения спроса на товар при данной цене и др.

В конечном итоге всё это ¾ задачи на нахождение производной функции

.

IV этап. Выполнение практических заданий.

Рассмотрим ряд примеров, при решении которых пригодятся имеющиеся у вас знания и выводы из рассмотренных задач.

№1 . Материальная точка, движение которой определяется уравнением

S = 3 + t + t2 движется ускоренно.

Найти его мгновенную скорость в момент времени t1 = 2; t2 = 4. Какова начальная скорость и средняя скорость на отрезке времени от t=1 до t=4?

(Ответ: V(1) = 3; V(4) = 9; V(0) = 1; V(2) = 5; Vср[1; 4] = 6.)

№2 . Найти угол наклона касательной к параболе y = x2 - 2x + 5 в точках x1 = 0,5; x2 = 1; x3 = 1,5.

(Ответ:

)

№3 . Составить уравнение касательной к графику функции

y = f(x) в точке (x0; f(x0))

(Ответ: y = f(x0) + f’(x0)(x-x0).)

№4 . ¾ функция затрат. Определить предельные издержки при объёме выпуска x1 = 3; x2 = 8.

(Решение:

K’(8) < K’(3)

Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.то есть если объём увеличивается, то предельные издержки ¾ дополнительные затраты на следующую за x малую единицу объёма ¾ уменьшаются.)

№5 . Зависимость спроса на товар от цены выражена функцией

, где p ¾ цена.

Определить скорость изменения спроса, когда цена на товар составляет 1; 4 денежных единицы.

(Решение:;

d’(1) = -25, d’(4) = -4.

С увеличением цены спрос на товар убывает.)

№6 . Найти предельную производительность ресурса (скорость изменения выпуска), если функция выпуска имеет вид:

x = 20 + 8r - r2, а затраты ресурса составляют r = 2; 5 условных единиц.

(Решение: x’=8-2r x’(2)=8-4=4 x’(5)=8-10=-2

С увеличением затрат данного ресурса выпуск уменьшается, производство данного товара становится экономически невыгодным.)

Решение данных задач нам позволяет сделать вывод о том, что с увеличением объема производства предельные издержки (дополнительные затраты) убывают, если производная функции затрат принимает положительное значение, а сама функция затрат является убывающей функцией. Если производная поизводственной функции зависимости спроса на товар от цены принимает отрицательное значение, то это означает, что с увеличением цены спрос на товар убывает.

V этап.

Подведём итоги.

Из определения производной и рассмотренных задач вытекает:

1)  физический смысл производной в данной точке ¾ мгновенная скорость движения материальной точки в данный момент времени;

2)  геометрический смысл производной в данной очке ¾ угловой коэффициент касательной к графику функции в данной его точке;

3)  экономический смысл производной в данной точке ¾ предельные издержки производства при данном его объёме.

Как производные производственных функций, вычисляются и многие другие экономические показатели, такие как предельный спрос, предельная выручка, предельная производительность ресурса. С этими величинами, их ролью в экономическом анализе мы встретимся на следующем уроке.

VI.  Домашнее задание.

1.  Найти среднюю скорость движения тела на отрезке времени от t1=2 до t2=5, если зависимость пути от времени выражается формулой S= t2 +4. В какой момент времени мнгновенная скорость совпадает со средней?

2.  Докажите, что касательная в любой точке кривой y= 2x5 + x3 + 6x – 5 c положительным направлением оси ОХ острый угол.

3.  Определите предельный спрос при цене 1, 3, 10 денежных единиц, если зависимость спроса на товар от цены на него выражается формулой

. Сравните и объясните результаты.