Работа № 2
Исследование весовых и переходных характеристик простейших типовых линейных звеньев
Продолжительность работы – 4 часа
2.1. Цель работы
Исследование особенностей реакций простейших типовых звеньев на импульсное воздействие, единичное ступенчатое и линейное воздействия.
2.2. Теоретическое обоснование
По определению, переходной характеристикой h(t) называется реакция системы на единичное ступенчатое 1(t) входное воздействие при нулевых начальных условиях
Преобразование Лапласа от единичной ступенчатой функции 1(t) получаем, подставляя эту функцию в интеграл Лапласа:
Переходная характеристика вычисляется по формуле:
.
Весовой, или импульсной функцией w(t) называют реакцию системы на единичный импульс 
(t). При анализе систем управления приходится часто использовать δ – функцию, которая обладает следующими свойствами:
Преобразование Лапласа от этой функции
К простейшим типовым элементарным звеньям относятся такие, знаменатель и числитель передаточной функции W(s) которых, имеют порядок не выше единицы, т. е.
где s - комплексный оператор Лапласа;
- постоянные коэффициенты.
В теории автоматического управления [1] принята определенная классификация простейших типовых звеньев (элементарных) звеньев, которые рассматриваются ниже.
2.2.1. Пропорциональное звено
Пропорциональным называется звено, сигнал на выходе которого, y(t) пропорционален входному сигналу x(t):
К таким звеньям относятся зубчатые передачи редукторов, рычажные передачи, делители напряжений на резисторах, широкополосные усилители постоянного тока.
Подвергая уравнение (2.1) преобразованию Лапласа, имеем:
откуда
где K-передаточный коэффициент, или коэффициент усиления.
В связи с этим пропорциональные звенья также называют усилительными.
Пропорциональное звено имеет передаточную функцию
,
 |
где
- передаточный коэффициент или коэффициент усиления. Переходная функция пропорционального звена
На рис.2.1 приведен график переходной характеристики h1(t), которая представляет собой ступенчатую функцию 1(t), пропорционально измененную в K раз.
Весовая функция пропорционального звена описывается следующим выражением
,
где δ(t) – дельта – функция или импульсная функция.
2.2.2. Интегрирующее звено
Интегрирующее звено описывается следующим дифференциальным уравнением:
Для нахождения переходной функции необходимо воспользоваться зависимостью 
Вычисляя это выражение, находим h2(t)=kּt.
Интегрирующее звено имеет передаточную функцию
где 
- коэффициент усиления интегрирующего звена, имеющий размерность с-1
Иногда вместо коэффициента k рассматривают параметр 
, который называется временем интегрирования.
Переходная функция интегрирующего звена
или 
График переходной функции h2(t) представлен на рис.2.2. Для определения коэффициента K нужно найти значение ординаты h2(t) соответствующее моменту времени t=1, а для оценки постоянной интегрирования Т нужно найти значение момента времени, при котором h2(t)=1
Весовая функция, определяемая формулой 
будет 
 |
2.2.3. Инерционное (апериодическое) звено первого порядка
Инерционное звено или апериодическое первого порядка имеет передаточную функцию
,
где 
- коэффициент усиления, а 
- постоянная времени.
Переходная характеристика 
звена имеет вид
 |
График
показан на рис.2.3.
Переходная характеристика звена обладает следующими свойствами:
установившееся значение h3уст=lim h3(t) переходной функции h3(t) стремится к значению K :
касательная к h3(t) в точке t = 0 отсекает на линии установившегося значения h3уст отрезок, длина которого равна постоянной времени T;
значение функции h3(t) удовлетворяют соотношениям:
Для определения значений параметров K и Т по графику переходной функции h3(t) можно воспользоваться следующими формулами:
где 
значения моментов времени, соответствующие ординатам
Весовую функцию w3(t) можно определить, используя известную зависимость
.
Весовая функция также может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции по формуле:
,
,
.
Вычислим весовую функцию звена, используя операторы пакета символьной математики Mathcad:
 |
2.2.4. Реальное (инерционное) дифференцирующее звено
Реальное (инерционное) дифференцирующее звено имеет передаточную функцию
где 
- коэффициент усиления (или время дифференцирования); 
- постоянная времени инерционной части.
Переходная характеристика этого звена определяется
График h4(t) приведен на рис.2.4. Данная переходная функция обладает свойствами:
начальное значение h4(t=0)=h40 связано с параметрами К и Т соотношением 
;
касательная к графику h4(t) в точке t=0 отсекает на оси времени отрезок, длина которого равна постоянной времени Т;
ординаты h4(t) в точках t1=T, t2=2T, t3=3T имеют значения
Для определения значений параметров Т и К графоаналитическим способом (по графику переходной функции h4(t)) следует воспользоваться соотношениями
где значения времени, соответствующие ординатам h41 , h42, h43:
Весовую функцию w4(t) можно определить, используя известную зависимость
.
Весовая функция также может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции по формуле:
Вычислим весовую функцию звена, используя операторы пакета символьной математики Mathcad:
2.2.5. Интегро-дифференцирующее (реальное форсирующее) звено
Интегро-дифференцирующее или реальное форсирующее звено имеет передаточную функцию
,
где 
коэффициент усиления; 
постоянная времени форсирования; 
- постоянная времени инерционной части.
Переходная функция звена равна
,
где 
.
График переходной функции h5(t) при различных значениях l представлен на рис.2.5.
Переходная характеристика реального форсирующего звена обладает следующими свойствами:
установившееся значение переходной функции h5уст=lim h5(t) =K;
начальное значение h50=h5(t) связано с параметром λ следующим образом h50=K·λ;
ординаты разности 
в моменты времени 
принимают значения
 |
Для определения значений параметров К, Т и l=t /Т по графику переходной характеристики h5(t) необходимо воспользоваться следующими соотношениями
Здесь 
значения моментов времени t, соответствующие ординатам
разность 
Весовую функцию w5(t) можно определить, используя известную зависимость
.
Весовая функция также может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции по формуле:
,
,
где .
Вычислим весовую функцию звена, используя операторы пакета символьной математики Mathcad:
2.3. Порядок выполнения работы
В соответствии с вариантом задания в табл.2.1. и табл.2.2. произвести построение временных характеристик типовых звеньев первого порядка и графоаналитическим способом рассчитать их параметры.
Вычисление временных характеристик звена или системы
Динамические свойства линейного звена характеризуются переходной h(t) или весовой w(t) функциями, которые связаны соотношениями
,
.
Связь между переходной и передаточной функциями определяется преобразованием Лапласа
или
Эти выражения показывают, что переходная и весовая функции содержат информацию о передаточной функции 
, которая в свою очередь также характеризует динамические свойства линейных звеньев.
По определению, переходной характеристикой h(t) называется реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействие. Переходная характеристика вычисляется по формуле:
.
в программном пакете символьной математики Mathcad данная операция обратного преобразования Лапласа от выражения 
может быть реализована при помощи символьных операторов invlaplace, s, simplify, и оператора ограничения десятичных единиц до двух float,2.
Вычислим переходную характеристику звена, используя символьные операторы invlaplace, s (переводит выражение из области Лапласа в область времени по переменной S) и simplify (упрощает выражение):
Построение переходной характеристики звена или системы производится при помощи графической панели Graph Toolbar и панели вида графического отображения Graph. При появлении поля для построения характеристики в левое окошко (рядом с осью ординат) вводится имя функции, которую необходимо построить (или нескольких при необходимости построения в одной плоскости), в нижнее окошко (под осью абсцисс) вводится аргумент функции, настройки масштаба, цены деления шкал, вид кривой, её цвет, толщина и др. выполняются двойным нажатием левой клавиши «мыши» на область построения.
|
Рис.2.6. Построение переходной характеристики при помощи графической панели Graph Toolbar |
По определению, весовой функцией w(t) называется реакция системы на импульсное входное воздействие. Весовая характеристика может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции по формуле:
Построение весовой функции звена w(t) в программном пакете символьной математики Mathcad производится при помощи графической панели Graph Toolbar и панели вида графического отображения Graph. Сложность состоит в правильном выборе масштаба отображения для выполнения дальнейших расчетов параметров звеньев и удобстве восприятия полученных графиков. Для выбора масштаба отображения временных характеристик и их начертаний зададим диапазон и шаг изменения аргумента t (времени), воспользовавшись знаком «многоточие», вызываемым с помощью символа «;»:
t:=0,0.01..10
Далее из палитры Инструменты графиков вызовем поле декартовых координат (Ctrl+2), где в позиции на оси абсцисс запишем аргумент t, а на оси ординат – w(t) или h(t). Для удобства представления характеристик необходимо дважды «кликнуть» на редактируемый график.
2.4. Варианты заданий
2.4.1. Постройте и рассчитайте все динамические характеристики звеньев, изменяя коэффициенты, в соответствии с номером варианта.
таблица 2.1.
№ варианта | Пропорциональное звено | Апериодическое звено | Интегрирующее звено | |||||||
Значение параметров | Значение параметров | Значение параметров | ||||||||
К1 | К2 | К3 | К1 | Т1 | К2 | Т2 | К1 | К2 | К3 | |
1. | 5 | 10 | 9 | 5 | 7,5 | 12 | 3 | 4 | 12 | 1 |
2. | 14 | 7 | 3 | 14 | 2 | 5 | 4 | 7 | 15 | 3 |
3. | 2 | 19 | 4 | 2 | 3 | 9 | 6 | 5 | 9 | 17 |
4. | 7 | 20 | 3 | 7 | 4 | 5 | 8 | 9 | 5 | 19 |
5. | 4 | 18 | 7 | 4 | 5 | 2 | 10 | 7 | 2 | 18 |
6. | 6 | 12 | 1 | 6 | 6 | 10 | 12 | 11 | 6 | 10 |
7. | 2 | 21 | 8 | 2 | 7 | 8 | 3,5 | 18 | 2 | 21 |
8. | 6 | 1 | 23 | 14 | 8 | 6 | 4 | 23 | 6 | 14 |
9. | 4 | 28 | 12 | 4 | 9 | 20 | 4,5 | 14 | 20 | 9 |
10. | 13 | 30 | 2 | 13 | 10 | 3 | 5 | 12 | 3 | 30 |
11. | 7 | 18 | 1 | 7 | 11 | 3,5 | 5,4 | 11 | 7 | 19 |
12. | 4 | 16 | 3 | 4 | 12 | 19 | 6 | 8 | 19 | 5 |
таблица 2.2.
№ варианта | Реальное (инерционное) дифференцирующее звено | Интегро-дифференцирующее звено | ||||||
Значение параметров | Значение параметров | |||||||
К1 | Т1 | К3 | Т2 | К1 | Т1 | τ1 | τ 2 | τ 3 |
5 | 10 | 9 | 5 | 12 | 3 | 0,3 | 3 | 6,2 |
14 | 7 | 3 | 14 | 5 | 4 | 2 | 4 | 8 |
2 | 19 | 4 | 2 | 9 | 6 | 0,75 | 6 | 10 |
7 | 20 | 3 | 7 | 5 | 8 | 4 | 8 | 10 |
4 | 18 | 7 | 4 | 2 | 10 | 0,2 | 10 | 15 |
6 | 12 | 1 | 6 | 10 | 12 | 6 | 12 | 20 |
2 | 21 | 8 | 2 | 8 | 3,5 | 0,4 | 3,5 | 7 |
6 | 1 | 23 | 14 | 6 | 4 | 2 | 4 | 8 |
4 | 28 | 12 | 4 | 20 | 4,5 | 0,5 | 4,5 | 9 |
13 | 30 | 2 | 13 | 3 | 5 | 2,5 | 5 | 10 |
7 | 18 | 1 | 7 | 3,5 | 5,4 | 0,4 | 5,4 | 11 |
4 | 16 | 3 | 4 | 19 | 6 | 3 | 6 | 12 |
2.4.2. Рассчитать все параметры звеньев по динамическим характеристикам.
2.4.3. Сделать выводы о влиянии параметров звеньев K, Т и λ на динамические временные характеристики.
2.4.4. Оформить отчет по лабораторной работе в электронном виде и предоставить для защиты распечатку на листах формата А4.
