Перенос вещества в среде, состоящей из макропористой и микропористой цилиндрических зон

Изучение переноса вещества в пористой среде имеет важное теоретическое и практическое значение при анализе вторичных и третичных методов добычи нефти, а также утилизации загрязняющих веществ путем закачки их в подземные резервуары и др. В макроскопически неоднородных средах встречаются такие зоны, фильтрационно-емкостные свойства которых очень низки, жидкости в них могут оставаться неподвижными. Математическому моделированию процессов переноса вещества в таких неоднородных средах посвящен ряд работ, в частности [1, 2]. В работе [3] исследована двумерная задача фильтрации суспензии в макроскопически неоднородной пористой среде, состоящей из двух зон с подвижной и неподвижной жидкостью, а в [4] рассмотрена задача переноса вещества в пористой среде, состоящей из двух зон: а) с транзитными порами (с подвижной жидкостью), б) с неподвижной жидкостью (со связанной водой), с учетом эффектов конвективного переноса, гидродинамической дисперсии, адсорбции вещества и внутреннего массопереноса между обеими зонами. Установлено [3, 4], что наличие зон с неподвижной жидкостью значительно влияет на общие характеристики фильтрации суспензии и переноса вещества в пористой среде.

В работе [5] изучен перенос веществ в цилиндрической пористой среде с цилиндрической макропорой в центре и получено аналитическое решение уравнений, описывающих конвективно-диффузионный перенос через макропоры с одновременным радиальным распространением от макропоры в окружающую среду. Перенос вещества из макропоры в окружающую среду моделируется на основе диффузионного уравнения. В моделях [1, 2] массообмен между зонами описывается с помощью кинетического уравнения.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В данной работе рассматривается задача переноса вещества с учетом адсорбционных явлений в горизонтально установленной неоднородной цилиндрической пористой среде. Проанализирован перенос вещества для двух случаев: на основе диффузионного уравнения и кинетического уравнения массопереноса. Найдено такое значение коэффициента массопереноса, для которого оба подхода дают близкие результаты.

Рассматривается цилиндрическая пористая среда с цилиндрической макропорой в центре, т. е. область исследования задачи состоит из двух частей: 1) Макропористая среда (макропора), имеющая радиус (т. е. область ), с большими порами, характеризирующаяся относительно высокой пористостью и средней скоростью жидкости в ней, 2) окружающая цилиндрическая микропористая среда (микропора), занимающая область , имеющая низкую или нулевую пористость и, соответственно, скорость потока (Рис.1) [5].

Рис.1 Цилиндрическая среда с цилиндрической макропорой

Используем следующие соотношения [5]

, , , , , , , ,

где , - объемные доли макропоры и микропоры в единице объема среды, , - локальные коэффициенты пористости макропористой и микропористой сред, , - относительные коэффициенты пористости макропористой и микропористой сред, , - локальные плотности макропористой и микропористой сред, , - относительные объемные плотности двух сред.

В макропоре в одномерной постановке перенос вещества описывается уравнением [5]

, (1)

где - средняя концентрация в , - концентрация адсорбированного вещества в макропоре, - коэффициент диффузии в макропоре, - средняя скорость распространения вещества в , , - средние концентрации вещества и концентрации адсорбированного вещества в области , которые определяются из следующих соотношений

, (2)

, (3)

- локальная концентрация в , - локальный удельный объем адсорбированного вещества в , - время, - расстояние.

Распространение вещества в области описано уравнением диффузии с учетом адсорбции вещества

, . (4)

где - коэффициент эффективной диффузии в .

Используется линейная неравновесная адсорбция, кинетическое уравнение которой в зонах имеет вид

, (5)

, (6)

, (7)

где - коэффициент характерного перехода от неравновесного к равновесной адсорбции, - адсорбционный коэффициент.

Для решения задачи используем следующие начальные и граничные условия

, (8)

, (10)

, (12)

, (14)

, , (16)

, (9) , (11)

, (13)

, (15)

. (17)

Задача (1) - (17) решается численно методом конечных разностей [6]. Схема расчета следующая. Сначала из (5)-(7) определяются значения , , . Затем из (4) вычисляется и из (2) определяется . Для определения решается уравнение (1) при известных , и .

В расчетах использованы следующие значения исходных параметров: м2/с, м/с, м2/с, , , кг/м3, кг/м3, м3/кг, м, м.

Результаты некоторых численных экспериментов представлены на рис. 2. С течением времени значения , в фиксированных точках пласта возрастают и можно заметить продвижение поверхностей концентрации по направлениям , . В точке количество адсорбированного вещества до некоторого значения времени увеличивается и этот процесс характеризуется коэффициентом . Из рис. 2 можно увидеть, что увеличение параметра приводит к уменьшению концентраций , . Установлено также, что увеличивается удельный объем адсорбированного вещества в макро - и микропорах.

 

Рис. 2. Профили концентраций (а), (б) при м/с, м2/с, м2/с, с, м3/кг (сплошные линии), (штриховые линии), (1 - с, 2 - с).

Теперь проанализируем задачу на основе кинетического уравнения массопереноса из макропоры в микропору [1, 2]

, (18)

где − коэффициент массопереноса.

Уравнение (18) решается совместно с (1) при необходимых начальных и граничных условиях из (8) − (17).

Сначала из (5), (6) определяются значения , . После этого из (18) вычисляются значения . Далее из (1) определяются .

На рис.3 представлены результаты обеих подходов. Можно заметить, что при равном, 3·10-6 c-1, распространение вещества в макропоре при обоих подходах почти одинаково. В микропоре при больших значениях времени ( с) профили концентраций вещества для обоих подходов несколько отличаются.

 

Рис. 3. Профили относительной концентраций (а) и (б) в различные моменты времени при м/с, м2/с, м2/с, м3/кг, с. для диффузионного подхода (сплошные линии) и кинетического подхода (штриховые линии), 1 - c, 2 - c, 3 - c, 4 - c.

Литература

1. Coats, K. H. and Smith, B. D., Dead-end pore volume and dispersion in porous media // Soc. Pet. Eng. J. 1964. No. 4. Pp. 73 - 84.

2. Van Genuchten M. and Wierenga P. J. Mass transfer studies in sorbing porous media. 1. Analytical Solution // Soil Sci. Soc. Am. J. 1976. No. 40. Pp. 473 - 479.

3. , Махмудов -суффозионная фильтрация в пористой среде с подвижной и неподвижной жидкостями // ИФЖ. 2007. Т. 80, №1. С. 46-53.

4. , Махмудов вещества в пористой среде, насыщенной подвижной и неподвижной жидкостью // ИФЖ. 2010. Т. 83, №2. С. 248-254.

5. Van Genuchten M. Th., Tang D. H. and Guennelon R., Some exact solutions for solute transport through soils containing large cylindrical macropores // Water Recourses Research. 1984. Vol. 20, № 3. Pp. 335-346.

6. Самарский разностных схем. – М.: Наука, 1977. – 656 с.