Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Контрольная работа
Вариант 4
Задание 1
По данной производственной функции найти средние и предельные производительности каждого ресурса, частные эластичности выпуска по каждому ресурсу, эластичность производства и предельную технологическую норму замены.
Решение:
Средние производительности:
,
.
Предельные производительности равны:
, 
.
Частные эластичности равны:
,
.
Эластичность производства:
.
Технологическая норма замены есть:
Задание 2
Некоторое предприятие затрачивает а1 = 8 тыс. тонн ресурса и b1 = 24 тыс. часов труда для выпуска с1 = 57 тыс. единиц продукции. В результате расширения производства оказалось, что при затратах а2 = 9 тыс. тонн ресурса выпуск возрос до с2 = 59 тыс. единиц продукции, а при увеличении трудоемкости до b2 = 25 тыс. часов, выпуск возрос до с3 = 61 тыс. единиц продукции. Найти линейную производственную функцию и производственную функцию Кобба-Дугласа.
Решение:
Запишем для удобства исходные данные в виде таблицы:
x1 | 8 | 9 | – |
x2 | 24 | – | 25 |
y | 57 | 59 | 61 |
Линейная функция 
.
Найдем параметры функции:
, 
.
Получаем 
.
Для нахождения b используем первый столбец таблицы:
, откуда 
.
В результате линейная производственная функция имеет вид:
.
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
.
Коэффициенты уравнения:
, 
.
Получаем 
.
Для нахождения b используем первый столбец таблицы:
, откуда 
.
В результате производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
.
Задание 3
Целевая функция потребления имеет вид 
. Цена на первое благо равна 
, а на второе благо 
. Доход составляет D = 550. Найти:
а) оптимальный набор благ 
;
б) функцию спроса по цене на первое благо 
;
в) функцию спроса по доходу на первое благо 
;
Решение:
1) Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид:
.
Для ее решения выражаем из бюджетного ограничения 
одну переменную через другую: 
.
Подставляем в целевую функцию: 
.
Находим производную и приравниваем ее к 0:
или 
, откуда 
.
Тогда 
.
Таким образом, оптимальный набор благ составляет 55/2 и 55/3 единиц.
2) Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в бюджетном ограничении вместо фиксированного значения вводим цену первого блага 
: 
, откуда 
. Подставляем в целевую функцию:
.
Находим производную и приравниваем ее к 0:
или 
, откуда 
– функция спроса на первое благо по цене.
3) Находим теперь функцию спроса на первое благо по доходу. Для этого выражаем из бюджетного ограничения 
одну переменную через другую: 
.
Подставляем в целевую функцию:
.
Находим производную и приравниваем ее к 0:
или 
, откуда 
– функция спроса на первое благо по доходу.
Задание 4
Межотраслевой баланс производства и распределения продукции для 4 отраслей имеет вид:
Найти конечный продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой отрасли, матрицу коэффициентов прямых затрат. Какой будет конечный продукт каждой отрасли, если валовой продукт первой отрасли увеличится в 2 раза, у второй увеличится на половину, у третьей не изменится, у четвертой – уменьшится на 10 процентов.
Матрица межотраслевых материальных связей xij и матрица валового выпуска Xj приведены в таблице:
Производящие отрасли | Потребляющие отрасли | Валовой продукт | |||
1 | 2 | 3 | 4 | ||
1 | 0 | 5 | 80 | 95 | 550 |
2 | 15 | 60 | 20 | 40 | 750 |
3 | 55 | 50 | 20 | 40 | 525 |
4 | 0 | 35 | 10 | 60 | 820 |
Решение:
1) Найдем чистую продукцию отраслей, используя формулу:
.
,
,
,
.
2) Конечный продукт отраслей:
.
,
,
,
.
3) Элементы матрицы прямых затрат определяем по правилу 
.
Например, 
, 
.
В результате 
.
4) Новый валовой продукт 
.
Конечный продукт отраслей:
.
,
,
,
.
Задание 5
Имеется баланс двух взаимосвязанных отраслей (сельское хозяйство и машиностроение) за предыдущий год.
Найти конечный продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой отрасли, матрицу коэффициентов прямых затрат. Какой будет валовой продукт каждой отрасли, если конечный продукт сельского хозяйства необходимо увеличить на 40 %, а машиностроения уменьшить на 20 %. Матрица межотраслевых материальных связей xij и матрица валового выпуска Xj приведены в таблице.
, 
.
Решение:
Конечный продукт определим по формуле:
,
где 
– единичная матрица, 
– матрица прямых затрат, элементы которой определяются по правилу .
В результате 
.
.
– конечный продукт отраслей.
Найдем чистую продукцию отраслей, используя формулу:
.
Имеем 
– чистая продукция c/x,
– чистая продукция машиностроения.
Для нахождения валового продукта, соответствующего новому конечному продукту вида 
, используем формулу:
.
Находим обратную матрицу:
, 
, тогда
.
В результате 
.
Задание 6
Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить, эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная рекламная политика и на рекламу начало выделяться xi денежных средств. При этом фиксировалось число продаж yi. Предполагая, что для данного случая количество продаж пропорционально расходам на рекламу, необходимо:
1) В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии 
.
2) Найти коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятности p = 0.95 проверить его значимость.
3) Построить графики данных и уравнения регрессии.
4) Сделать прогноз для количества продаж, если затраты на рекламу составят х = 5 млн. руб.
хi | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 |
yi | 21,0 | 23,0 | 23,7 | 23,8 | 25,8 | 27,6 | 28,4 | 29,7 | 31,7 | 31,6 |
Решение:
1. Составим вспомогательную таблицу:
№ | x | y | xy | x2 | y2 |
1 | 0 | 21 | 0 | 0 | 441 |
2 | 0,5 | 23 | 11,5 | 0,25 | 529 |
3 | 1 | 23,7 | 23,7 | 1 | 561,69 |
4 | 1,5 | 23,8 | 35,7 | 2,25 | 566,44 |
5 | 2 | 25,8 | 51,6 | 4 | 665,64 |
6 | 2,5 | 27,6 | 69 | 6,25 | 761,76 |
7 | 3 | 28,4 | 85,2 | 9 | 806,56 |
8 | 3,5 | 29,7 | 103,95 | 12,25 | 882,09 |
9 | 4 | 31,7 | 126,8 | 16 | 1004,89 |
10 | 4,5 | 31,6 | 142,2 | 20,25 | 998,56 |
Сумма | 22,5 | 266,3 | 649,65 | 71,25 | 7217,63 |
Среднее | 2,25 | 26,63 | 64,965 | 7,125 | 721,763 |
Среднеквадратическое отклонение:
, 
.
, 
.
Параметры модели:
,
.
В результате уравнение регрессии имеет вид: 
.
2. Парный коэффициент корреляции найдем по формулам для линейной модели:
.
Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том, что между переменными Х и Y имеется весьма высокая корреляционная связь. Данная связь характеризуется как положительная, т. е. с увеличением выделяемых на рекламу денежных средств число продаж также увеличивается.
Проверяем значимость коэффициента корреляции:
Вычисляем статистику:
.
Критическое значение статистики: 
.
Так как 
, то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о значимости коэффициента корреляции.
Строим на одном графике исходные данные (точками) и линию регрессии (рис. 1). Из графика видим, что линия регрессии достаточно точно описывает исходные данные.
Рис. 1. Исходные данные и линия регрессии
4. Прогноз для затрат рекламы 5 млн. руб.
продаж.
Задание 7
Имеются данные о доли расходов на товары длительного пользования 
от среднемесячного дохода семьи 
. Предполагается, что эта зависимость носит показательный характер 
. Необходимо:
1. Найти уравнение показательной регрессии .
2. Найти нелинейный коэффициент парной корреляции и с доверительной вероятностью p = 0,9 проверить его значимость.
3. Если коэффициент корреляции значим, то необходимо сделать прогноз доли расходов на товары длительного пользования при доходе семьи x = 7.2.
хi | 2 | 3,5 | 4 | 5 | 5,5 | 6,5 | 8 | 9 | 11 | 14 |
yi | 20,4 | 19,7 | 16,6 | 17,3 | 15,1 | 15,2 | 14,3 | 14,1 | 14,3 | 14,1 |
Решение:
1. Преобразуем данные:
, 
, 
.
Составим вспомогательную таблицу:
№ | x | y |
|
| x2 |
|
1 | 2 | 20,4 | 3,016 | 6,031 | 4 | 9,093 |
2 | 3,5 | 19,7 | 2,981 | 10,432 | 12,25 | 8,884 |
3 | 4 | 16,6 | 2,809 | 11,238 | 16 | 7,893 |
4 | 5 | 17,3 | 2,851 | 14,254 | 25 | 8,127 |
5 | 5,5 | 15,1 | 2,715 | 14,931 | 30,25 | 7,370 |
6 | 6,5 | 15,2 | 2,721 | 17,688 | 42,25 | 7,405 |
7 | 8 | 14,3 | 2,660 | 21,282 | 64 | 7,077 |
8 | 9 | 14,1 | 2,646 | 23,816 | 81 | 7,002 |
9 | 11 | 14,3 | 2,660 | 29,263 | 121 | 7,077 |
10 | 14 | 14,1 | 2,646 | 37,046 | 196 | 7,002 |
Сумма | 68,5 | 161,1 | 27,705 | 185,981 | 591,75 | 76,930 |
Среднее | 6,85 | 16,11 | 2,771 | 18,598 | 59,175 | 7,693 |
Среднеквадратическое отклонение:
, 
.
, 
.
Параметры модели:
,
.
Возвращаемся к исходным параметрам:
, 
В результате уравнение регрессии имеет вид: 
.
2. Парный коэффициент корреляции найдем по формулам для линейной модели:
.
Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том, что между переменными Х и Y имеется высокая корреляционная связь. Данная связь характеризуется как отрицательная, т. е. с увеличением среднемесячных доходов расходы на товары длительного пользования уменьшаются.
Проверяем значимость коэффициента корреляции:
Вычисляем статистику:
.
Критическое значение статистики: 
.
Так как , то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о значимости коэффициента корреляции.
4. Прогноз при доходе семьи 7,2:
.
