МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ Государственное бюджетное учреждение «Центр развития одаренности» 350000 г. Краснодар, ул. Красная, 76 E-mail: cro. *****@***ru |
КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ «ЮНИОР» Математика 8 класс ответы и решения к работе № 4, 2016-2017 уч. год |
1. Найдите три попарно различных простых числа, произведение которых в 3 раза больше их суммы. Докажите, что решение задачи единственно.
Ответ: 2, 3, 5. Очевидно, что один из сомножителей – тройка. Тогда два других удовлетворяют равенству 
, откуда 
, что меньше 2 при 
. Для 
, 4 и 5 равенство проверяется непосредственно.
2. Имеется пять плиток шоколада. Можно ли получить 100 кусочков, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков?
Ответ: нет. Решение. Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна. При делении каждой плитки на 9, 15 или 25 кусочков каждая плитка будет разделена на нечетное число кусочков, а сумма 5 нечетных чисел нечетна.
3. Если некоторое двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном будет 4, а в остатке 1. Если это число разделить на сумму его цифр, то в частном будет 3, а в остатке 1. Найдите это число.
Ответ: 13. Решение. Пусть x — первая цифра числа, y — вторая цифра, тогда из условия получаем 10x + y = 4xy + 1 и 10x + y= 3(x + y) + 1. Отсюда получаем 7x= 2y + 1 или x =(2y + 1)/7. Подбором находим x =1, y = 3. Проверяем первое условие: 10 ×1 + 3 = 4×1×3 +1 — верно.
4. Конь сделал 8 ходов и вернулся последним ходом на исходное поле. Мог ли он при этом побывать на всех вертикалях и горизонталях шахматной доски? Ответ обосновать.
Решение. Нет. Чтобы побывать на каждой вертикали и вернуться на исходную, надо пройти 14 границ между вертикалями. Аналогично надо преодолеть 14 границ между горизонталями. За один ход конь преодолевает 3 границы. Значит, за 8 ходов он пересечет не более 24 границ.
5. В прямоугольный треугольник впишите прямоугольник с вершиной в вершине прямого угла и наименьшей диагональю.
Решение. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Так как наименьшей диагональю будет перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, то для построения прямоугольника необходимо опустить перпендикуляр из точки C на гипотенузу AB, обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с гипотенузой через D и опустим из этой точки перпендикуляры на катеты AC и BC. Обозначим точки пересечения этих перпендикуляров с катетами AC и BC через M и N соответственно. Прямоугольник MNDC — искомый.
