В. Л. ГЕРАСИМЧУК, Ю. В. КАМЕНСКИЙ, В. Н. НИКОЛАЕНКО
ВЫБОР КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ
ПРИ КОМПЬЮТЕРНОМ МОДЕЛИРОВАНИИ В МЕХАНИКЕ
Метод модели является важнейшим методом экспериментального исследования, основанным на замещении конкретного объекта эксперимента (образца) другим, ему подобным (моделью). Моделирование применяется в тех случаях, когда целью исследования является не выяснение общих физических закономерностей, а детальное изучение вполне конкретного процесса, развивающегося в реальной системе с определёнными геометрическими и физическими свойствами при заданных режимных условиях.
Моделирование основано на возможности (строго доказываемой в теории подобия) фактически воспроизводить явления, друг другу подобные. В случае подобия явлений все их количественные характеристики, представленные в относительной (безразмерной) форме, тождественны. Поэтому изучение группы подобных явлений можно осуществить исследованием одного явления, т. к. все полученные данные распространяются в пределах группы чрезвычайно легко: численные результаты — пересчетом, заключающимся в умножении на постоянные множители (множители преобразования), визуальные наблюдения — непосредственно.
Условия в модели подчинены только таким ограничениям, которые вытекают из требования подобия явлений в оригинале и модели.
Как показывается в общей теории подобия [1], эти условия включают в себя, помимо предпосылок, не связанных с количественными ограничениями (подобие геометрической формы и физической структуры систем, подобие краевых распределений), также требования количественного характера, которые могут быть представлены в виде систем уравнений, выражающих условие равенства критериев подобия π, соответствующих исследуемому процессу оригинала (о) и процессу в модели (м):
π¡о = π¡м, (1)
где ¡ = 1, 2, ..., s; s – число критериев подобия.
Метод определения критериев подобия зависит от данных, которыми располагают при исследовании. Если исходные физические данные позволяют составить уравнения, определяющие процесс в оригинале (основные уравнения задачи), то критерии подобия (π¡о) могут быть найдены непосредственно из этих уравнений.
Целью данной работы является определение условий подобия компьютерной модели физическому процессу, исследуемому в механике.
Как известно, анализ практически всех процессов механики сводится, в конечном счете, к интегрированию дифференциального уравнения вида:
, (2)
при выполнении начального условия: 
.
Чтобы решить уравнение (2) с помощью модели, все его слагаемые, в соответствии с теорией подобия, должны быть записаны в безразмерном виде.
Для этого умножим и раздели воспроизводимые параметры x, y, f в уравнении (2) на константы x0, y0, f0, имеющие размерности, соответствующие связям в (2). Тогда получим уравнение оригинала, в котором все параметры (x, y, f) записаны в безразмерном виде
, (3)
где 
, 
, 
, 
.
Теория подобия требует, чтобы уравнение модели имело сходственный вид
(4)
При одинаковом характере функций 
, решения (3) и (4) будут одинаковы при выполнении условия подобия
. (5)
Так как число воспроизводимых параметров n = 3, а число критериев подобия s = 1, то в соответствии с условием [1]: n – s ≥ 1, говорящим, что моделирование возможно, мы имеем две степени свободы в выборе констант 
, 
, 
.
Очевидно, при интегрировании уравнения (3) величина определяется условием задачи, а поэтому при моделировании необходимо выполнить равенство: , благодаря которому условие подобия (5) примет вид:
. (6)
Рассмотрим условия реализации (5) при использовании компьютерной модели [2].
Очевидно, при графическом режиме использования компьютерной модели (экрана компьютера) 
и 
всегда имеют пространственные размерности, в то время как параметры 
и 
у оригинала могут иметь размерности, например, метров и секунд.
Введем множители преобразования параметров – k. Если для нас важно, чтобы величина 
оригинала изображалась отрезком 
на экране монитора компьютера, то мы должны ввести в (6) параметр преобразования 
. В таком случае, получим соотношение:
,
позволяющее нам провести градуировку оси y монитора, то есть определить, какому значению 
соответствует на экране величина отрезка .
Знание величин отрезков 
и 
необходимо для определения числа пикселей по соответствующим направлениям x и y на экране монитора, которые надо учесть в программе градуировки осей графиков модели [3].
Обычно плотности в пикселях (ρх или ρy) по осям монитора различны. Зная их, мы можем определить число пикселей, приходящиеся на интересующие нас отрезки: 
и 
,
а также число пикселей (nx и ny), соответствующих единице размерности по х и y оригинала
(7)
(8)
После проведения градуировки осей графиков, строящихся компьютером, с помощью формул (7) и (8) можно будет считать, что вид графиков, действительно соответствует численному решению дифференциального уравнения (2), описывающего физические процессы в механике.
____________________
1. Гухман, в теорию подобия / . – М., 1963.
2. Голд, Х. Компьютерное моделирование в физике / Х. Голд, Я. Тобочник. – М.: Изд. «Мир», 1990.
3. Гутер, и вычислительная математика / , . – М.: «Наука», 1971.
