11 класс задачи
1. Расстояние d между точечными зарядами Q1 = 3 нКл и Q2 = –5 нКл, находящимися в вакууме, равно 35 см. Определите напряженность электрического поля в точке, отстоящей на расстоянии r1 = 25 см от первого заряда и на расстоянии r2 = 20 см от второго заряда. Электрическая постоянная ε0 = 8,85⋅10–12 Ф/м.
Відстань d між точковими зарядами Q1 = 3 нКл і Q2 = –5 нКл, що знаходяться у вакуумі, дорівнює 35 см. Визначте напруженість електричного поля в точці, що відстоїть на відстані r1 = 25 см від першого заряду і на відстані r2 = 20 см від другого заряду. Електрична стала ε0 = 8,85⋅10–12 Ф/м.
Решение:
Согласно принципу суперпозиции
, 
.
Из рисунка видно, что
.
Тогда напряженность электрического поля в рассматриваемой точке равна:
2. Масса Земли больше массы Луны в 81 раз, а радиус Земли больше радиуса Луны в 3,8 раза. Определить, как изменится период колебания математического маятника, если его перенести с Земли на Луну.
Маса Землі більше маси Місяця у 81 раз, а радіус Землі більший за радіус Місяця у 3,8 рази. Визначити, як зміниться період коливань математичного маятника, якщо його перенести з Землі на Місяць.
Обозначим МЗ массу Земли, МЛ — массу Луны, gЗ — ускорение свободного падения на Земле, gЛ — ускорение свободного падения на Луне, ТЗ — период колебания маятника на Земле, ТЛ — период колебания на Луне, l — длину маятника, RЗ — радиус Земли, RЛ — радиус Луны, G — гравитационную постоянную.
Дано:
МЗ = 81 Мл
RЗ = 3,8 RЛ
Период колебания математического маятника на Земле определим по формуле:
Ускорение свободного падения на Земле выразим через ее массу и радиус:
Подставим (2) в (1):
Аналогично, период на Луне
Теперь разделим (4) на (3) . При этом неизвестная длина маятника сократится и мы получим нужное соотношение периодов:
Теперь воспользуемся соотношениями между массами и радиусами Земли и Луны, известными нам из условия задачи, подставив их в последнюю формулу:
Следовательно, на Луне период колебаний маятника увеличится в 2,4 раза.
3. В баллоне находится газ при температуре 15°С. Во сколько раз уменьшится давление газа, если 40% его выйдет из баллона, а температура при этом понизится на 8°С?
У балоні знаходиться газ при температурі 15°С. У скільки разів зменшиться тиск газу, якщо 40% його вийде з балона, а температура при цьому знизиться на 8°С?
Обозначим t начальную температуру газа по шкале Цельсия, T — эту же температуру по шкале Кельвина (абсолютную температуру), ДT — изменение температуры, m — начальную массу газа, Дm — изменение массы газа в баллоне (или массу газа, вышедшего из баллона), V — объем газа, R — молярную газовую постоянную, M — молярную массу газа, р1 — начальное давление газа в баллоне, р2 — его конечное давление.
Поскольку здесь речь идет о массе газа, воспользуемся уравнением Менделеева — Клапейрона, в которое эта масса входит. Запишем это уравнение для первого состояния, когда в баллоне была вся масса газа:
После того как из баллона вышла масса газа Дm, в нем осталась масса m - Дm, и при этом температура газа понизилась на ДТ, т. е. стала равной Т - ДТ. Поэтому теперь запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для нового состояния:
Теперь, чтобы найти отношение p1/p2, надо разделить первое уравнение на второе и выполнить сокращения:
Но нам не даны ни масса газа m, ни ее изменение Дm, а дано отношение Дm/m, выраженное в процентах. Если
Чтобы получить отношение Дm/m в последнем уравнении, разделим в его правой части числитель и знаменатель на m (от этого равенство не нарушится):
, .
Теперь заменим отношение Дm/m его числовым значением 
Выразим начальную температуру в единицах СИ: 15 °С = 288 К. Тогда
4. Электрон влетел в поле конденсатора параллельно его пластинам со скоростью 2 107 м/с. Длина конденсатора 0,05 м, расстояние между его пластинами 0,02 м, разность потенциалов между ними U = 200 В. Отношение заряда электрона к его массе 1,76 1011 Кл/кг. Определить смещение электрона к положительной пластине за время пролета конденсатора.
Електрон влетів у поле конденсатора паралельно його пластинам зі швидкістю 2 107 м/с. Довжина конденсатора 0,05 м, відстань між його пластинами 0,02 м, різниця потенціалів між ними U = 200 В. Відношення заряду електрона до його маси 1,76 1011 Кл/кг. Визначити зміщення електрона до позитивної пластини за час прольоту конденсатора.
Обозначим vx проекцию скорости электрона на ось ОХ, l — длину конденсатора, U — разность потенциалов между его обкладками, d — расстояние между обкладками конденсатора, e/m — отношение заряда электрона к его массе, voу — проекцию начальной скорости электрона на ось ОY при влете в конденсатор, у — координату на оси ОY, равную расстоянию, на которое сместится электрон вдоль оси ОY за время пролета конденсатора, t — время движения электрона в конденсаторе, а — его ускорение, F — силу, действующую на электрон со стороны поля конденсатора, Е – напряженность поля конденсатора.
За время, пока электрон будет лететь вдоль оси ОХ равномерно и прямолинейно, он спустится вдоль оси ОY на расстояние h, двигаясь равноускоренно без начальной скорости. Поэтому уравнения движения электрона вдоль осей координат будут иметь вид:
Из первой формулы 
Подставим это выражение во вторую формулу:
Ускорение электрона найдем по второму закону Ньютона:
,
где из формулы напряженности F = e E, поэтому
.
Напряженность однородного поля конденсатора связана с разностью потенциалов на его обкладках формулой
,
поэтому
Нам осталось подставить (2) в (1) с учетом, что х = l:
.
Произведем вычисления:
Ответ: h = 5,5 мм.
5. Расстояние между обкладками конденсатора 0,2 мм. Конденсатор отключили от источника зарядов, после чего увеличили расстояние между обкладками до 0,7 мм. Определить, во сколько раз увеличится энергия конденсатора.
Відстань між обкладками конденсатора 0,2 мм. Конденсатор відключили від джерела зарядів, після чого збільшили відстань між обкладками до 0,7 мм. Визначити, у скільки разів збільшиться енергія конденсатора.
Обозначим С – емкость конденсатора до изменения расстояния между обкладками, С1 — емкость после отключения, q — заряд на обкладках, d — расстояние между обкладками до отключения, d1 — расстояние между ними после отключения.
Если конденсатор сначала отключить от источника тока, а затем изменить расстояние между его обкладками, то заряд на них останется неизменным, а изменится его емкость и напряжение. Поэтому мы можем записать формулу емкости конденсатора до и после отключения следующим образом:
Емкость плоского конденсатора до и после отключения от источника зарядов:
и 
.
Энергия конденсатора равна:
Так как C = q/U, U = q/C, то
.
Емкость плоского конденсатора определяется формулой:
.
Поэтому формулу для энергии конденсатора можно переписать в виде:
.
Тогда соотношение энергий конденсатора для первого и второго зазоров между обкладками равно
