Практическая работа №4
Конечно-разностные методы. Численное дифференцирование. Численное интегрирование. Пакет Origin.
Цель работы.
Использовать метод конечных разностей в численном дифференцировании и численном интегрировании. Освоить пакет Origin.
Краткая теория.
Конечно-разностные методы.
Идея метода конечных разностей по пространственным переменным заключается в том, что функции, заданные на континууме 
заменяются сеточным вектором 
. В свою очередь дифференциальный оператор 
заменяется на 
. Здесь j – номер узла пространственной сетки. Если выбран шаг сетки 
, то конечно-разностная производная может быть определена как
=
.
Однако, на практике чаще используется другой вид пространственной производной
=
Это центрированная производная. Используя этот подход легко записать выражения для пространственных производных старших порядков. Например, 
=
.
Аналогичным образом записываются производные по времени в точке xj в момент вренмени n. 
= 
или центрированная производная 
=
.
При таком определении производной мы, естественно, что-то теряем. Попробуем определить, что именно. Пусть задана периодическая функция с периодом L. Тогда 
, где 
.
Конечный ряд 
, а для дискретно заданной 
можно записать
Выберем одну моду (гармонику) из ряда Фурье
и 
в случае дискретно заданной функции.
Тогда 
, 
=
.
Сравнивая полученный результат с аналитическим дифференцированием, приходим к выводу, что конечно-разностные методы, по сути своей, являются длинноволновым приближением.
Задание №1. Продифференцировать следующие функции с помощью конечно-разностных методов. Сравнить полученные результаты, используя пакет Origin.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
Конечно-разностные методы. Численное интегрирование. Пакет Origin.
Цель работы.
Использовать метод конечных разностей в численном интегрировании. Освоить пакет Origin.
Краткая теория. Вычисление определенных интегралов.
Рассмотрим простые и удобные методы, позволяющие проинтегрировать функцию f(x) на некотором интервале [a, b]
b
J= ∫ f(x)dx.
a
Далее мы полагаем, что подынтегральная функция ограничена. Разобьем отрезок [a, b] на N отрезков. Точки разбиения xn (n=0,1…,N) называют узлами, величины hn= xn+1- xn – шагами
4.2. Формула прямоугольников
Полагая hn достаточно малым, заменим Jn площадью прямоугольника с основанием hn и высотой fn+1/2 =f(xn+hn/2). В результате мы приходим к формуле прямоугольников:
N-1
J ≈ ∑ hn fn+1/2.
n=0
4.3. Формула Трапеций
Заменим подынтегральную функцию на интервале [xn, xn+1] отрезком прямой
f(x) ≈ fn+ (fn+1- fn) (x - xn)/ (xn+1- xn).
Выполняя далее интегрирование по отрезкам, придем к формуле трапеций:
N-1
J ≈ (1/2) ∑ hn (fn+1+fn).
n=0
В случае постоянного шага h формула принимает вид:
h
J ≈ — [f0+2f1+…+2fN-1+fN].
2
4.4. Формула Симпсона
Заменим подынтегральную функцию на отрезке [xn, xn+1] параболой:
f(x) ≈ fn+1/2+ (fn+1- fn) [x - (xn+1+xn)/2]/ hn+ (fn+1-2fn+1/2+fn) [x - (xn+1+xn)/2]2/ (hn2/2)
Выполняя далее интегрирование по отрезкам, придем к формуле Симпсона:
J ≈ (1/3) ∑ hn (fn + 4fn+1/2+fn+1).
На практике используют несколько иное представление этой формулы. При постоянном шаге h, а также беря значения функции из пары соседних отрезков (вместо fn+1/2 используем fn, т.е. N должно быть четным), получим:
h
J ≈ — [f0+4f1+2f2+4f3+…+2fN-2+4fN-1+fN].
3
Задание №2
1. Написать программу вычисления интеграла методом (трапеций, Симпсона).
2. Найти интеграл с помощью программы Origin, сравнить с результатами численного расчета.
3. Представить результаты в виде отчета (графики функций, результаты вычислений).
1. 
9. 
2. 
10. 
3. 
11. 
4. 
12. 
5. 
6. 
7. 
8. 
