Задачи для подготовки к ЕГЭ

Задачи для подготовки к ЕГЭ.

Сын младше отца в семь раз, через год он станет младше отца в шесть раз. Через сколько лет сын станет младше отца в четыре раза? В13 Группа студентов получила на экзамене оценки 2, 3, 4, 5, причём общая сумма баллов равнялась 93; троек было больше, чем пятёрок, и меньше, чем четвёрок; число четвёрок делилось на 10; число пятёрок было чётным. Сколько пятёрок было получено?  В13 В течение года пенсия индексировалась два раза, причём процент повышения во второй раз был в два раза больше, чем в первый. На сколько процентов она повышалась каждый раз, если до первого повышения она была равна 1800 рублей, а после второго составила 2376 рублей? В1 Число двухкомнатных квартир в доме в четыре раза больше, числа однокомнатных, а число трёхкомнатных кратно числу однокомнатных. Если число трёхкомнатных квартир увеличить в пять раз, то их станет на 22 больше, чем двухкомнатных. Сколько всего квартир в доме, если известно, что их не меньше 100?  В13 В конференции принимают участие 77 человек. Может ли каждый из них быть знаком ровно с семью другими?  В13 Сыну два года, а отцу 28 лет. Сколько ещё раз в течение их жизни сын будет младше отца в целое число раз, если отец проживёт ровно 100 лет? В13 . Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = 2х2 – 4х – 1 на отрезке [– 1, 3] В14  . Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х2 – 2х + 3 на интервале (– 1, 3) В14  . Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = 3х2 – 6х + 4 на промежутке (– 1, 3] В14  . Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = –2х2+4х – 7 на промежутке [– 3, 1] В14  . Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = – х2+2х + 3 на промежутке (– 3, 1) В14  . Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1, 5] В14  .

Ответы на задачи.

Если возраст сына равен х, то возраст отца равен 7х, и через год им будет соответственно х+1 и 7х+1 лет. По условию задачи, 7х+1=6(х+1), откуда х=5, 7х=35. Если сын станет младше отца в 4 раза через п лет, то 35+п=4(5+п), откуда п=5. Из условия задачи сразу же следует, что вклад четвёрок в общую сумму равен либо 40, либо 80. Но вклад пятёрок не меньше 10, а так как троек больше, чем пятёрок, то их вклад не меньше 9, и общая сумма во втором случае не меньше 99, что неверно, так что четвёрок 10, а тогда пятёрок или 2, или 4, или 6, или 8. Если пятёрок 8, то троек не меньше 9, а 40+27+40>93, что противоречит условию. Если их 6, то вклад двоек и троек равен 23, но троек не меньше 7, а значит их ровно 7, а двойка одна. Однако общее число оценок в этом случае равно 1+7+10+6=24, что неверно, так что число пятёрок не равно 6. Если пятёрок 4, то вклад двоек и троек равен 33, и вместе их 30-10-4=16, причём троек не меньше 5. Если троек 5, то двоек 11, и общий вклад двоек и троек равен 27, а при каждом увеличении числа троек на 1 и соответствующем уменьшении на 1 числа двоек получатся вклады 28, 29, 30, 31, меньшие 33. Следовательно, пятёрок было получено две. Первое решение. Попытаемся подобрать искомое число процентов экспериментально: ясно, что задача может иметь лишь единственное решение – при меньшем или большем проценте повышения будет соответственно меньше или больше заданной. Если бы первое повышение было на 5%, то после него пенсия была бы 1800+90=1890 рублей, а после второго – на 10% – оказалась равной 1890+2*189=2268, что меньше 2376 рублей. Возьмём первое повышение на 10%, тогда 1800+180=1980, то после второго – на 20% – пенсия будет равна 1980+2*198=2376 рублей. Что соответствует условию задачи. Второе решение. Предположим, что первое повышение – х%. Тогда: 1800*(1+х*0,01)*(1+2*х*0,01)=2376. Перемножим скобки и разделим на 1800 (чтобы удобнее было считать). Получим: 0,0002х2 +0,03х+1=1,32. Опять (для удобства счёта) разделим на 0,0002. Перенесём всё в левую часть и приравняем к нулю. Получим:  х2 +150х–1600= 0. Корни данного уравнения: 10 и –160. Так как проценты не могут быть отрицательными, то х=10. Значит, первое повышение было на 10%. Предположим, что a, b, c – число соответственно одно-, двух - и трёхкомнатных квартир. Тогда, по условию, b=4a, с делится на а и 5с=b+22, a+b+c ≥100. Следовательно, 5с=4а+22 делится на а, т. е. 22 делится на а, и, значит, а равно 1, 2, 11 или 22. Но 4а+2=5с–20 делится на 5, и этому условию удовлетворяют только а=2  и а=22. При а=2 получаем b=8, 5с=30, откуда a+b+c<100, а при а=22, b=88, c=22и общее число квартир равно 132. Для начала пронумеруем всех участников конференции. Знакомствами будем считать пару чисел, являющихся номерами людей, знакомых друг с другом. Так как каждый человек знаком ровно с семью другими, то всего знакомств будет 77*7. Каждое знакомство появится в списке ровно два раза. Очевидно, что человек не может быть знаком с самим собой, и номера в каждой паре должны быть различны. Приняв каждую пару за единицу знакомства, надо общее число 77*7=539 разделить на два. Получим 269,5. Число получается не целое. Следовательно, знакомства, описанные в задаче, невозможны. Через п лет, когда сын будет младше отца в целое число п раз, разность их возрастов также в целое число раз больше возраста сына, и поэтому требуется найти, сколько существует натуральных чисел от 2 до 72 (100-28=72), при которых число п+2 является делителем числа 26. Так как у 26 есть два делителя, больших 2, то событие, о котором идёт речь в условии задачи, случится 2 раза.

Лет сыну	Лет отцу	Отец младше сына в целое число раз
0	26	–
1	27	(27-1)/1=26
2	28	(28-2)/2=13
13	39	(39-13)/13=2
26	52	(52-26)/26=1

       

       В остальные годы условие задачи не выполняется. Результаты вычислений получаются дробными.

Подставим вместо х значение -1: у(-1) = 2*(-1)2 – 4*(-1) – 1. ⇒  у(-1) = 5. Подставим вместо х значение 3: у(3) = 2*32 – 4*3 – 1. ⇒  у(3) = 5. На построенном графике заданной функции видно, что при икс равном 1, игрек равен – 3. Число 1 принадлежит заданному отрезку [– 1, 3], поэтому у(1)= - 3 есть наименьшее значение функции. Наибольшее значение функция принимает на концах заданного отрезка у(-1) = у(3) = 5. Подставим вместо х значение -1: у(-1) = (-1)2 – 2*(-1) + 3. ⇒  у(-1) = 6. Подставим вместо х значение 3: у(3) = 32 – 2*3 + 3. ⇒  у(3) = 6. На построенном графике заданной функции видно, что при икс равном 1, игрек равен 2. Число 1 принадлежит заданному отрезку [– 1, 3], поэтому у(1)= 2 есть наименьшее значение функции. Так как функция монотонна  на заданном интервале, то наибольшего значения она не имеет. Подставим вместо х значение -1: у(-1) = 3*(-1)2 – 6*(-1) + 4. ⇒  у(-1) = 13. Подставим вместо х значение 3: у(3) = 3*32 – 6*3 + 4. ⇒  у(3) = 13. На построенном графике заданной функции видно, что при икс равном 1, игрек равен 1. Число 1 принадлежит рассматриваемому интервалу (– 1, 3], поэтому у(1)= 1 есть наименьшее значение функции. Наибольшее значение функция принимает в точке у(3) = 13, так как х=3 принадлежит незамкнутому промежутку. Подставим вместо х значение -3: у(-3) = (-2)*(-3)2 + 4*(-3) – 7 . ⇒  у(-3) = -37. Подставим вместо х значение 1: у(1) = (-2)*12 + 4*1 – 7 . ⇒  у(1) = -5. Абсцисса вершины параболы, являющейся графиком заданной функции равна 1, ветви параболы направлены вниз. На заданном промежутке функция возрастает и принимает своё наименьшее значение в точке х= - 3, а наибольшее – в точке х=1. Поэтому у(-3) = -37 и у(1) = -5 – искомые крайние значения. Подставим вместо х значение -3: у(-3) = (-1)*(-3)2 + 4*(-3) + 5 . ⇒  у(-3) = -16. Подставим вместо х значение 2: у(2) = (-1)*22 + 4*2 + 5 . ⇒  у(2) = 9. Абсцисса вершины параболы, являющейся графиком заданной функции равна 2, ветви параболы направлены вниз. На заданном промежутке функция возрастает, но она монотонна и непрерывна на заданном интервале, поэтому не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значения ни в одной точке этого интервала. Подставим вместо х значение 1: у(1) = 1/(12 + 1) . ⇒  у(1) = 1/2. Подставим вместо х значение 5: у(5) = 1/(52 + 1) . ⇒  у(5) = 1/26. На заданном отрезке функция убывает, потому что знаменатель возрастает. Наибольшее значение функции в точке х=1, а наименьшее в точке х=1/26.