, ,

СОКРАЩЕНИЕ ЧИСЛА вычислительных операций при проведении ВЕРОЯТНОСТНЫХ расчетов на основе

теоретико-множественного подхода и матричных преобразований

При теоретико-множественном подходе основными операциями являются нахождение вероятностей произведений и сумм совместных событий на основе вычислений площадей и объемов множеств. В докладе множества событий представлены в виде системы линейных неравенств [1]. Определение произведения событий соответствует нахождению пересечения множеств. При этом представление выпуклого множества системой линейных неравенств позволяет свести задачу пересечения множеств к исключению лишних неравенств методом матричных преобразований, т. е. определению фундаментальной системы решений для системы однородных линейных неравенств.

Перепишем однородную систему в виде

  (1)

Алгоритм и вычислительная схема для нахождения общей формулы неотрицательных решений системы (1) сводится к последовательности однотипных преобразований таблицы

  (2)

в которой левая часть (до вертикальной черты) – единичная матрица Е (1,1) n-й степени, а правая часть - транспонированная матрица (1,1) исходной матрицы А(1,1) системы (1).

Для удобства изложения будем считать, что все таблицы (i=2,3…), получаемые в результате последовательных преобразований  таблицы , помещаются под таблицей (как ее последовательные продолжения вниз) и имеют общую с ней разделяющую вертикальную черту; при этом правая и левая части таблицы (i=2,3…) будут обозначаться соответственно через ии столбцы всех таблиц нумероваться слева направо числами 1,2,…,m.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Если все элементы какого-либо столбца таблицы неположительны (неположительный столбец), то заменяем их нулями; отвечающее этому столбцу неравенство системы (2) является зависимым неравенством системы:

  (3)

Затем выбирается основной столбец таблицы , за который можно принять любой из столбцов таблицы , имеющей хотя бы один положительный элемент. Если таких столбцов не окажется, то таблица не существует. Пусть – основной столбец таблицы . Тогда в таблицу прежде всего переносятся строки таблицы , пересекающиеся с ним по неположительному элементу [2].

Данный метод исключения линейных неравенств целесообразно использовать в следующих широко распространенных вероятностных расчетах:

а) для определения вероятности событий при большом количестве различных подходов;

б) при проверке независимости событий

;

в) при определении вероятности в формуле суммы совместных событий ;

г) при расчете вероятности по формуле Байеса

.

Все расчеты по предлагаемому подходу не представляют особенной сложности и осуществляются методами многомерной линейной алгебры [3], что позволяет существенно сократить число вычислений при решении задач. Чем больше неравенств имеется в первоначальной системе, тем существеннее уменьшается число вычислений, а, значит, тем на большую точность в вычислениях можно рассчитывать. Все эти преимущества влекут за собой повышение эффективности в обучении курса математики. Данная методика реализована в офисной программе MS Excel.

____________________

1. Компьютерные технологии адаптивной обработки данных. Часть 1. Лабораторный практикум / Cост. , , . – Рязань, РГМУ, 2004.

2. Адаптивный метод визуального решения задач математического программирования. Практикум / Сост. , , – РГМУ, 2005.

3. Шевцов алгебра. Учебное пособие – 2-е изд. исп. и доп. – М.: Гардарики, 1999.