Построение сейсмических изображений рассеивающих объектов для многокомпонентных поверхностных данных при помощи Гауссовых пучков

Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН

(Россия, 630090, Новосибирск пр. Академика Коптюга, 3

, e-mail: *****@***nsc. ru)

Построение сейсмических изображений рассеивающих объектов для многокомпонентных поверхностных данных при помощи Гауссовых пучков

Аннотация. Настоящая работа посвящена построению изображений отражаю­щих/рассеивающих объектов изучаемой геологической среды для за­данной скоростной модели, то есть для модели, с достаточной степенью точности описывающей времена пробега волн. На сегодня суще­ствует множество подходов для построения волновых изображений. Их можно разделить на два основных семейства - кинематические и ди­намические. В данной работе мы будем иметь дело с динамическим подходом, причем нас будут интересовать процедуры построения изображений, свободных от влияния вышележащей толщи и си­стемы возбуждения и регистрации.

В работе [1] предлагается процедура построения изображений в ис­тинных амплитудах, которая предусматривает использование от­дельных Гауссовых пучков. Замечательным фак­том при этом оказалась и возможность получения с помощью этих же Гауссовых пучков "селективных" изображений. Селек­тивные изображения - это такие изображения среды, на которых пред­ставлены только лишь определенным образом накло­ненные в пространстве отражающие объекты.

Однако, алгоритм, предложенный в работе [1], основывается на мо­дели, в которой процессы распространения волн описываются волновым уравнением. Без­условно, более близкой к реальным средам является упругая изотропная среда. Поэтому целью данной работы является развитие  подхода, описанного в работе [1], на случай  упругих изотропных сред, и создание на этой основе алгоритма обработки многокомпонентных сейсмиче­ских данных многократного перекрытия, обеспечивающего достоверное восстановление расположения и контрастности отражающих/рассеивающих объектов, по­мещенных в макроскоростную модель сколь угодно сложного строения.

Постановка задачи. Рассматривается полуплоскость  z>0 заполненная неоднородной упругой средой с параметрами Ламе

,

и плотностью  ,

которые представлены в виде суперпозиции параметров плавной скоростной модели и ее резко меняющегося возмущения. Для описания процессов отражения/рассеяния, будем использовать Борновское приближение (приближение однократного рассеяния). При этом полное волновое поле представляется в виде суммы двух компонент:

,

где есть волновое поле, распространяющееся в среде, описываемой гладкой составляющей, а порождено наличием отражающих/рассеивающих объектов.

Однократно рассеянное волновое поле представляется «интегралом однократного рассеяния»:

,

здесь

;

;

для значений индекса j=0,1

Через обозначена  матрица Грина, удовлетворяющая следующей краевой задаче:

Считается, что на поверхности z=0 зарегистрированы однократно рассеянные волновые поля для набора источников типа горизонтальной и вертикальной сосредоточенной силы. Эти данные будут представлены в виде двумерной матрицы , где столбцы соответствуют данным для двух типов источников. Задача заключается в определении по этим данным либо сами функции , , ,  либо их некоторых комбинаций, что позволило бы судить о наличии отражающего\рассеивающего объекта в точке наблюдения.

Описание метода и формулировка основного результата. Для построения изображения в некоторой текущей точке , расположенной в целевой области, выпустим из нее пару продольных лучей в направлении дневной поверхности. Для каждого из этих лучей построим по Гауссову пучку , где и задают координаты точек, в которых вышеупомянутые лучи пересекают свободную поверхность. Напомним, что Гауссов пучок – специальное асимптотическое решение уравнений динамической теории упругости, характеризующееся сосредоточенностью в окрестности фиксированного луча и глобальной регулярностью. Двойное применение теоремы Грина позволяет получить следующее интегральное тождество:

(1)

где

Опишем теперь выбор Гауссовых пучков, используемых в соотношении (1). Как известно, продольный Гауссов пучок в лучевой системе координат задается в следующем виде:

Ниже будем считать, что длина луча отсчитывается от свободной поверхности вглубь среды и в интересующей нас точке равна . Далее, , где функции и удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

и дополнительному условию

с безразмерной постоянной k, управляющей шириной Гауссова пучка. Во всех дальнейших рассмотрениях начальные данные и выбираются таким образом, чтобы обеспечить минимальную ширину пучка именно в той точке, в которой и строится изображение.

Теперь, воспользовавшись сосредоточенностью Гауссовых пучков в узкой окрестности луча, можно свести интегрирование в правой части соотношения (1) по некоторой достаточно малой окрестности точки . А так как окрестность мала, то можно считать среду в ней однородной. Используя эти упрощения, в итоге получаем тождество, определяющее «изображение в истинных амплитудах»:

где , i=1,2.

Интегральное уравнение, которое нужно разрешить, получилось абсо­лютно такое же, как и в скалярном случае, рассмотренном в работе [1]. Следуя изложенному в ней алгоритму, мы восстанавливаем функцию:

 

В частности, при эта функция равна импедансу продольной волны: 

Численный эксперимент. Для проведения первого тестового расчета использовалась простая модель однородного упругого полупространства, характеризующегося скоростями продольных и попе­речных волн равными соответственно 2000 м/с,  1154,7 м/с и плотностью 1000 г/м3. Система наблюдения поверхностная. Коли­чество источников 19, расположение: начиная с точки 102 м с шагом 20 м. Количество приемников 100, расположение: начи­ная с точки 102 м с шагом 4 м.

На рисунке справа представлено истинное строение среды, слева результат применения процедуры построения изображений.

Результирующее изображение является суммой изображений для лучей, выходящих из точек наблюдения под углами от -30 до 30 градусов с осью OZ  с шагом 10 градусов.

Для проведения второго тестового расчета использовалась модель однородного упругого полупространства, характеризующегося скоростями продольных и попе­речных волн равными соответственно 3865.47м/с,  1364.89м/с и плотностью 4204г/м3. Система наблюдения поверхностная. Коли­чество источников 35, расположение: начиная с точки 200м с шагом 25 м. Количество приемников 70, расположение: начи­ная с точки 200м с шагом 50м.

На рисунке справа представлено истинное строение среды, слева результат применения процедуры построения изображений.

Результирующее изображение является суммой изображений для лучей, выходящих из точек наблюдения под углами от -30 до 30 градусов с осью OZ  с шагом 10 градусов. Расположение границы восстановлено верно, близко расположенные точечные рассеиватели разделены.

Список литературы

1. Протасов, М. И.  Построение сейсмических изображений в истинных амплитудах/ ,   // Докл. РАН.- 2006.- т.407(4).- C. 441-446.

2. Beylkin, G. Imaging of discontinuities in the inverse scattering problem of a casual generalized Radon transform/ G. Beylkin// J. Math. Phys.- 1985.- v.26(l).-PP.99 - 108.

3. Bleistein, N. On the imaging of reflectors in the earth/ N. Bleistein // Geophysics.- 1987.- v.52.- PP.931 - 942.

4. Hill, N. R. Prestack Gaussian-beam depth migration/ N. R. Hill // Geophysics.- 2001.- v.66(4).- PP.1240 - 1250.

5. Popov,  M. M.  A  new  method  of computation  of wave  fields  using Gaussian beams/ M. M.  Popov// Wave motion.- 1982.- v.4.- PP.85-97.

6. Cerveny, putation of wave fields in inhomogeneous media. Gaussian beam approach/ V. Cerveny, M. M. Popov, I. Psencik // Geoph. J. R. Astr. Soc.-1982.- v.70.- PP. 109-128.