Задание 7

Задание 7

  7.1. = .

Р е ш е н и е. При четных n = 2k мы получаем все отрицательные члены нашей последовательности , которые возрастают от –4 (при k = 1) до –3 при k → ∞, то есть число –3 является наименьшим верхним частичным пределом последовательности . Аналогично при нечетных n = 2k + 1 мы получаем все положительные члены нашей последовательности , которые убывают от +5 (при k = 0) до +3 при k → ∞, то есть число +3 является наибольшим верхним частичным пределом последовательности . Далее, очевидно, что – 4 ≤  ≤ +5, то есть числа – 4 и +5 являются соответственно наименьшим и наибольшим значением для , а значит, inf4 и sup= +5.

являются наименьшим и наибольшим значением для , то есть представляют собой inf   и sup.

  7.2. = .

  Р е ш е н и е. При четных n = 2k мы получаем все отрицательные члены нашей последовательности, которые возрастают от –5,5 (при k = 1) до –4 при k → ∞, то есть число –4 является наименьшим нижним частичным пределом последовательности . Аналогично при нечетных n = 2k + 1 мы получаем все положительные члены нашей последовательности , которые убывают от +7 (при k = 0) до +4 при k → ∞, то есть число +4 является наибольшим верхним частичным пределом последовательности . Далее, очевидно, что – 5,5 ≤  ≤ +7, то есть числа – 5,5 и +7 являются соответственно наименьшим и наибольшим значением для , а значит, inf5,5 и sup= +7.

  7.3. = .

  Р е ш е н и е. При нечетных n = 2k +1 мы получаем все отрицательные члены нашей последовательности, которые возрастают от –3 (при k = 0) до –2 при k → ∞, то есть число –2 является наименьшим нижним частичным пределом последовательности . Аналогично при четных n = 2k мы получаем все положительные члены нашей последовательности  , которые убывают от +2,5 (при k = 1) до +2 при k → ∞, то есть число +2 является наибольшим верхним частичным пределом последовательности . Далее, очевидно, что – 3 ≤  ≤ +2,5, то есть числа – 3 и +2,5 являются соответственно наименьшим и наибольшим значением для , а значит, inf и sup= +2,5.

  7.4. = .

  Р е ш е н и е. При нечетных n = 2k +1 мы получаем все отрицательные члены нашей последовательности, которые возрастают от –9 (при k = 0) до –5 при k → ∞, то есть число –5 является наименьшим нижним частичным пределом последовательности . Аналогично при четных n = 2k мы получаем все положительные члены нашей последовательности  , которые убывают от +5,5 (при k = 1) до +5 при k → ∞, то есть число +5 является наибольшим верхним частичным пределом последовательности . Далее, очевидно, что – 9 ≤  ≤ +5,5, то есть числа – 9 и +5,5 являются соответственно наименьшим и наибольшим значением для , а значит, inf и sup= +5,5.

  7.5. = .        

  Р е ш е н и е. При четных n = 2k мы получаем все отрицательные члены нашей последовательности , которые возрастают от –2,5 (при k = 1) до –1 при k → ∞, то есть число –1 является наименьшим нижним частичным пределом последовательности . Аналогично при нечетных n = 2k + 1 мы получаем все положительные члены нашей последовательности , которые убывают от +2,5 (при k = 0) до +1 при k → ∞, то есть число +1 является наибольшим верхним частичным пределом последовательности . Далее, очевидно, что – 2,5 ≤  ≤ +2,5, то есть числа – 2,5 и +2,5 являются соответственно наименьшим и наибольшим значением для , а значит, inf5,5 и sup= +7.

  7.6. = .        

  Р е ш е н и е. При четных n = 2k мы получаем все положительные члены нашей последовательности , которые возрастают от +0,5 (при k = 1) до +2 при k → ∞, то есть число +2 является частичным пределом последовательности . Аналогично при нечетных n = 2k + 1 мы получаем все положительные члены нашей последовательности , которые убывают от 0,5 (при k = 0) до при k → ∞, то есть число является частичным пределом последовательности . Таким образом числа +2 и – 2 являются соответственно наибольшим и наименьшим пределами нашей последовательности. Далее, очевидно, что – 2 <  < +2, то есть inf2 и sup= +2. Эти значения не принадлежат нашей последовательности.

  7.7. = .

  Р е ш е н и е. При изменении n от 1 до ∞ наша последовательность бесконечное число раз 4 различных значения: 1,  ,  +,  +1. Из последовательности можно выбрать 4 стационарные подпоследовательности, которые имеют эти числа своими пределами. Наибольший верхний предел получается при любой подпоследотельности, состоящей из +1 (за исключением, быть может, конечного числа элементов, равных трем оставшимся числам 1,  ,  +. Аналогично, наибольший нижий предел получается при любой подпоследотельности, состоящей из 1 (за исклюю-чением, быть может, конечного числа элементов, равных трем оставшимся числам 1,  ,  +. Далее, очевидно, что – 1 ≤ ≤ +1, то есть inf1 и sup= +1. Эти значения принадлежат нашей последовательности.

  7.8. = =

  Р е ш е н и е. При нечетных n = 2k +1 мы получаем все отрицательные члены нашей последовательности, которые возрастают от –3 (при k = 0) до –2 при k → ∞, то есть число –2 является наименьшим нижним частичным пределом последовательности . Аналогично при четных n = 2k мы получаем все положительные члены нашей последовательности  , которые убывают от +3,5 (при k = 1) до +2 при k → ∞, то есть число +2 является наибольшим верхним частичным пределом последовательности . Далее, очевидно, что – 3 ≤  ≤ +3,5, то есть числа – 3 и +3,5 являются соответственно наименьшим и наибольшим значением для , а значит, inf и sup= +3,5.

  7.9. = . 

  Р е ш е н и е. При изменении n  принимает два различных значения: +1 при n = 3k и   при n = 3k . Выражение в скобках будет равно +   и соответственно. Минимальное значение принима-ется при n = 1, так как при n > 1 все числа вида n = 3k приводят к значению  = , которое будет либо положительным, либо отрица-тельным, но по модулю меньше, чем .  а максимального значения не существует, так как для  при n = 3k = неограниченно возрастает при возрастании k. Таким образом, inf  и sup= +∞.

  Из нашей последовательности можно выбрать две подпоследовательности: а) со значением в скобках, равным , которая очевидно сходится к 0, и б) со значением в скобках, равным , предел, которой равен +∞. Они является наименьшим нижним частичным пределом и наибольшим верхним частичным пределом последовательности .

  7.10. = .

  Р е ш е н и е. При нечетных n = 2k +1 мы получаем все отрицательные члены нашей последовательности, которые возрастают от –1 (при k = 0) до 0 при k → ∞, то есть число 0 является наименьшим нижним частичным пределом последовательности . Аналогично при четных n = 2k мы получаем все положительные члены нашей последовательности , которые убывают от +0,5 (при k = 1) до 0 при k → ∞, то есть число 0 также является и наибольшим верхним частичным пределом последовательности . Совпадение этих пределов свидетельствует о том, что исходная последова-тельность сходится в обычном смысле и имеет своим пределом 0.  Далее, очевидно, что –1 ≤  ≤ +0,5, то есть числа –1 и +0,5 являются соответственно наименьшим и наибольшим значением для , а значит, inf и sup= +0,5.