Вопросы по курсу «Дифференциальные уравнения»,

2-ой семестр 2016-2017 уч. года.



Зависимые и независимые интегралы системы дифференциальных уравнений (СДУ). Приведение СДУ к равносильному уравнению и обратная задача. Теорема Пикара для СДУ. Следствия из теоремы Пикара. Теорема о непрерывной зависимости решения СДУ от параметров. Теорема о непрерывной зависимости решения СДУ от начальных условий. Теорема о существовании общего решения СДУ. Зависимость решений системы в нормальной форме от правых частей системы. Дифференцируемость решений систем в нормальной форме по параметрам и начальным данным. Лемма об элементарной мажоранте. Теорема Коши о существовании голоморфного решения СДУ. Линейная СДУ и её свойства. Фундаментальная матрица линейной СДУ и ее свойства. Линейная неоднородная СДУ. Общее решение и решение в форме Коши. Теорема Коши для линейной неоднородной СДУ. Матрицант. Представление матрицанта в случае  Лаппо-Данилевского. Построение  матрицы . Особые точки. Узел и седло. Особые точки. Центр и фокус. Особые точки. Вырожденный и дикритический (особый) узел. Особые точки. Случай нулевых собственных чисел. Фазовые траектории нелинейных систем. СДУ с периодическими коэффициентами. Теорема Ляпунова – Флоке. Периодические решения уравнения 2-го порядка. Случай единственного периодического решения. Периодические решения уравнения 2-го порядка. Семейства периодических решений. Случай отсутствия периодических решений у уравнения 2-го порядка. Метод малого параметра. Нерезонансный случай. Резонансный случай Метод малого параметра.  Резонанс n-го рода. Автономный случай. Метод малого параметра. Решение задачи Коши. Понятие о предельном цикле. Линейные однородные уравнения первого порядка. Квазилинейные уравнения первого порядка.

Вопросы по теории устойчивости движений.

1.  Основные определения: исходная система дифференциальных уравнений, определения  устойчивого и асимптотически устойчивого по Ляпунову решений, область асимптотической устойчивости. Система в отклонениях.

2. Общие теоремы об устойчивости линейных систем.

3. Устойчивость и асимптотическая устойчивость линейных однородных систем.

4. Корневой критерий устойчивости линейных систем с постоянной матрицей.

5. Корневой критерий асимптотической устойчивости линейных систем с постоянной матрицей.

6. Полиномы Гурвица. Теорема Стодолы.

7. Матрица Гурвица и критерий Рауса-Гурвица.

8. Критерий Михайлова.

9. Экспоненциальная устойчивость. Матричное уравнение Ляпунова. Теорема о существовании функции Ляпунова в виде квадратичной формы.

10. Устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей.

11. Неравенство Важевского и следствия из него.

Литература.


Матвеев интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Еругин для чтения по общему курсу диф. уравнений. , , Чижова уравнения и устойчивость. Петровский по теории обыкновенных диф. уравнений. Понтрягин диф. уравнения. Степанов диф. уравнений. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление.

Лектор