Задачи (стр. 4 )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Решения задач

10 класс

10.1. Решение. По формуле разности квадратов 1002–992 = 100+99; 982–972 = 98+97; 962–952=96+95; …

Поэтому 1002–992+982–972+...+22–12= 100+99+98+97+96+95+..+2+1 = (100+1)×100/2=5050.

10.2. Решение:

Пусть (а – целое, а ≠0). Тогда , и число

- целое. Это может быть только в том случае, когда является либо , .

Если , то , , и сумма - целое число.

Если , то а – нецелое число, и этот случай невозможен.

Если , то , , и сумма - целое число.

Если , то , а этот случай невозможен.

То есть во всех возможных случаях сумма является целым числом.

10.3. Ответ. 7 рукопожатий.

Решение. Если каждый из n человек пожмет руки всем остальным, то все сделают по n-1 рукопожатий, а всего рукопожатий будет сделано n(n-1)/2, ибо в каждом из них участвуют двое. Посмотрим, сколько могло быть людей, кроме Федота. Заметим, что если 20 человек пожмут руки друг другу, то всего будет сделано 190 рукопожатий. Т. е. Федоту останется сделать 7 рукопожатий. Если же без Федота было менее 20 человек, то они сделали без него не более 19×18/2=171 рукопожатие, т. е. на долю Федота осталось бы не менее 26 рукопожатий, а человек, кому он мог бы пожать руку – не более 19 – противоречие. Если же без Федота было больше 20 человек, то только они одни в сумме сделали бы больше 197 рукопожатий (21×20/2=210>197). Таким образом, ответ единственный – Федот сделал 7 рукопожатий.

10.4. Решение. Треугольники BMC и CND – прямоугольные, при этом их острые углы BCN и DCN в сумме дают 90°, следовательно ∠BCN=∠CDN, т. е. треугольники подобны. Аналогично подобны треугольники BAM и ADN. Из подобия первой пары треугольников получаем, что CM/DN=BM/NC. Из подобия второй – что DN/MA=AN/BM. Перемножая эти равенства, получаем: CM/MA=AN/NC, откуда сразу можно заметить, что точки М и N делят отрезок АС в равных отношениях, но одна, считая от точки А, а другая, считая от точки С. Значит, соответствующие отрезки AM и CN равны. Можно также вывести это явно: CM·NC =AN·MA ⇒ (AC-AM)NC=(AC-CN)MA ⇒ AC·NC =AC·MA ⇒NC=MA.

Второе решение. Обозначим середину отрезка NM через Q. Нетрудно видеть, что утверждение задачи равносильно тому, что Q – середина и отрезка AC. Заметим, что по теореме Фалеса точка Q есть основание перпендикуляра OQ, опущенного на CA из середины отрезка BD. Но, так как отрезок BD виден из точек A и C под прямыми углами, AC – хорда окружности с центром в точке O. А значит, OQ действительно делит отрезок AC пополам (как радиус, перпендикулярный хорде).

10.5. Решение. По условию, уравнения ax2 + bx + (c + 1) = 0 и ax2+(b+1)x+c = 0 имеют общий корень. Вычтя одно равенство из другого, получим x = 1. Поэтому общий корень x = 1. Но тогда a · 12 + b · 1 + (c + 1) = 0, то есть сумма коэффициентов a + b + c = −1, где «−1» целое число.

Замечание. Если a + b + c = −1, то x = 1 – общий корень всех трех уравнений.

Задача 1. Только ответ без обоснования, как он найден, – 2 балла. За представление выражения в виде суммы арифметической прогрессии – 2 балла. После этого арифметическая ошибка (но не ошибка при подсчете количества слагаемых/пар и не ошибка в формуле, которые арифметическими не считаются) – 5 баллов.

Задача 2. За каждый нерассмотренный случай снимать 2 балла.

Задача 3. Только ответ «7» без обоснования – 1 балл. Ответ с проверкой – 3 балла.

Задача 4.

Задача 5. Нахождение возможных общих корней пар уравнений без дальнейших продвижений – 0 баллов.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

11 класс

11.1. Пусть f(х) - квадратный трехчлен. Известно, что уравнение имеет четыре корня, сумма которых равна нулю. Докажите, что тогда и сумма каких – то двух корней этого уравнения равна нулю.

11.2. Числа a, b, c таковы, что при некоторых различных положительных x, y верны равенства x3 = ay2 + by + c, y3 = ax2 + bx + c. Докажите, что среди чисел a, b, c есть отрицательное.

11.3. Можно ли выбрать на плоскости 6 различных ненулевых векторов так, что из любых 4 из них можно выбрать несколько с нулевой суммой?

11.4. В треугольной пирамиде проведены три биссектрисы плоских углов при вершине пирамиды, а также три биссектрисы основания пирамиды. Известно, что основания двух пар проведенных биссектрис совпадают. Докажите, что основания и третьей пары биссектрис совпадают.

11.5. На доске 6 х 6 некоторые клетки покрасили в один из двух цветов. Оказалось, что если хромая ладья идет с любой не закрашенной клетки до любой другой не закрашенной клетки, то она обязательно пройдет через клетки двух цветов. (Хромая ладья за один ход может перейти из клетки в другую, имеющую с ней общую сторону). Какое наибольшее количество не закрашенных клеток могло быть на доске?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

11 класс

11.1. Пусть f(х) - квадратный трехчлен. Известно, что уравнение имеет четыре корня, сумма которых равна нулю. Докажите, что тогда и сумма каких – то двух корней этого уравнения равна нулю.

11.2. Числа a, b, c таковы, что при некоторых различных положительных x, y верны равенства x3 = ay2 + by + c, y3 = ax2 + bx + c. Докажите, что среди чисел a, b, c есть отрицательное.

11.3. Можно ли выбрать на плоскости 6 различных ненулевых векторов так, что из любых 4 из них можно выбрать несколько с нулевой суммой?

11.4. В треугольной пирамиде проведены три биссектрисы плоских углов при вершине пирамиды, а также три биссектрисы основания пирамиды. Известно, что основания двух пар проведенных биссектрис совпадают. Докажите, что основания и третьей пары биссектрис совпадают.

11.5. На доске 6 х 6 некоторые клетки покрасили в один из двух цветов. Оказалось, что если хромая ладья идет с любой не закрашенной клетки до любой другой не закрашенной клетки, то она обязательно пройдет через клетки двух цветов. (Хромая ладья за один ход может перейти из клетки в другую, имеющую с ней общую сторону). Какое наибольшее количество не закрашенных клеток могло быть на доске?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Решения задач

11 класс

11.1. Пусть f(х) - квадратный трехчлен. Известно, что уравнение имеет четыре корня, сумма которых равна нулю. Докажите, что тогда и сумма каких – то двух корней этого уравнения равна нулю.

Решение:

Если числа x1, х2 - корни уравнения , то корнями уравнения будут числа ; . Тогда . Преобразуем: . Тогда либо (и утверждение задачи верно), либо . Во втором случае, домножив это равенство на х1 получим , то есть утверждение верно и в этом случае.

Комментарий. Если в решении проводятся неэквивалентные преобразования, приводящие к потере одного из случаев – ставить не более 3 баллов.

11.2. Числа a, b, c таковы, что при некоторых различных положительных x, y верны равенства x3 = ay2 + by + c, y3 = ax2 + bx + c. Докажите, что среди чисел a, b, c есть отрицательное.

Решение:

Первое решение. Пусть 0 < x < y _числа, при которых верны данные равенства. Вычитая из одного равенства другое, получаем: (x−y)(x2 +xy +y2) = (x −y)(−a(x +y)−b). Разделив на ненулевое число x − y, получаем: x2 + xy + y2 = −a(x + y) − b. В левой части последнего равенства стоит сумма трех положительных чисел, т. е. положительное число. Значит, хотя бы одно слагаемое в правой части также положительно. Отсюда, с учетом положительности суммы x+y, по крайней мере одно из чисел a и b отрицательно.

Второе решение. Предположим, что числа a и b неотрицательны. Тогда функция f(x) = ax2 + bx + c не убывает (возрастает или является постоянной) при положительных x. Функция g(x) = x3 является строго возрастающей при положительных x. Поэтому при 0 < x < y выполняются неравенства g(x) < g(y) и f(x) 6 f(y), следовательно, g(x) = f(y) > f(x) = g(y) > g(x). Это противоречит условию.

Значит, среди чисел a и b есть отрицательное.

11.3. Можно ли выбрать на плоскости 6 различных ненулевых векторов так, что из любых 4 из них можно выбрать несколько с нулевой суммой?

Решение:

Выберем, например, 3 пары векторов a, - а, b, - b, c, - c. Если взять из них любые четыре вектора, то среди них можно выбрать несколько с нулевой суммой.

Ответ. Можно.

11.4. В треугольной пирамиде проведены три биссектрисы плоских углов при вершине пирамиды, а также три биссектрисы основания пирамиды. Известно, что основания двух пар проведенных биссектрис совпадают. Докажите, что основания и третьей пары биссектрис совпадают.

Пусть SABC – данная пирамида; SK, SL, SM – соответственно биссектрисы боковых граней SВС. SCA, SAB. По условию АК и ВL – биссектрисы углов А и В треугольника АВС, и нужно доказать, что CM - биссектриса угла С. По свойству биссектрисы треугольника BS : CS = BK : СК = BА : СА и CS : АS = CL : AL = СВ : АВ. Перемножив левые и правые части этих равенств, получаем: ВS АS = СB : СА. А это и означает, что основания биссектрис, проведенных к стороне АВ в треугольниках BSA и BСА, совпадают, т. е. CM - биссектриса в треугольнике АBC.

11.5. На доске 6 х 6 некоторые клетки покрасили в один из двух цветов. Оказалось, что если хромая ладья идет с любой не закрашенной клетки до любой другой не закрашенной клетки, то она обязательно пройдет через клетки двух цветов. (Хромая ладья за один ход может перейти из клетки в другую, имеющую с ней общую сторону). Какое наибольшее количество не закрашенных клеток могло быть на доске?

Решение:

Заметим, что путь хромой ладьи между любыми двумя не закрашенными  клетками должен проходить, хотя бы по двум закрашенным. Разобьем доску на 9 квадратиков 2 х 2. Тогда в каждом таком квадратике не более одной не закрашенной клетки. Таким образом, на доске не более 9 не закрашенных клеток.

Предположим, что существует раскраска доски с 9 не закрашенными клетками, удовлетворяющая условию. Тогда в каждом квадратике 2 х 2 ровно одна не закрашенная клетка. Обозначим квадратики так, как показано на рисунке. Пусть, для определенности в квадратике а не закрашена клетка 1 (см. рис.). Тогда в квадратике b не закрашена может быть только клетка 2, а в квадратике с – только клетка 3. Аналогично, в квадратике d не закрашена может быть только клетка 4, в квадратике е – только клетка 5, в квадратике f только клетка 6, в квадратике q – только клетка 7. Но из клетки 6 в клетку 7 хромая ладья может пройти только через одну закрашенную клетку – противоречие. Таким образом, на доске не более 8 не закрашенных клеток.

Пример раскраски с 8 не закрашенными клетками приведен на рисунке.

Ответ. 8.