Уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными.

Решение уравнений с двумя переменными, используя разложение на множители.

Внимание! Используем знак совокупности .

Пример 1.         ОДЗ:

                       

Ответ. Соотношение выполняется для всех точек вида и

Пример 2.        

Ответ. и

Решение уравнений с двумя переменными, используя базовое утверждение:

Найти все пары чисел (x;y), удовлетворяющие соотношению.

Пример 1.

Ответ.

Пример 2.

Ответ. (-3;2).

2ой способ. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно

Очевидно, что , т. е. уравнение имеет решение в действительных числах только при , т. е. в точке .

Подставим в данное уравнение.

Ответ. (-3;2)

Пример 3.

ОДЗ:

(0:0), (1;1) – реш. системы, но (0;0) – не входит в ОДЗ.

Ответ. (1;1).

Пример 4.

(Д/З)

Решение. Ответ.

Метод оценивания.

Базовые утверждения.

III1. Если на некотором множестве действительных чисел верны неравенства ,  то уравнение равносильно системе

III2. Для любого действительного справедливо:

Действительно, при .

Пример 1. . ОДЗ:

Данное уравнение равносильно системе:

Ответ.

Пример 2.

Sin

Данное уравнение равносильно системе:

Ответ

Пример 3.

Докажем, что правая часть .

Аналитический способ доказательства.

Можно доказать графически с помощью построения параболы (см. рис. 1, нер-во*).

       Данное уравнение равносильно системе:

Ответ.

Пример 4.

  ОДЗ:

Уравнение равносильно системе:

Ответ.

Пример 5.

Докажем, что        

                               

Уравнение равносильно системе:

  Ответ. (1;2).

Пример 6.

ОДЗ:

Докажем, что        

Возведём в квадрат.

                       

Данное уравнение равносильно системе:

Ответ. (0;2).

Пример 7.

Уравнение равносильно системе:

Ответ. (2;-3), (-2;-3).

Пример 8.

        (Д/З)
        Ответ. (-1;2).

Пример 9.

ОДЗ:

                       (в квадрат, ).

Данное уравнение равносильно системе:

Ответ. (1;0), (-1;0).

       Метод «оценки» очень распространён при решении тригонометрических уравнений с двумя и более переменными.

Пример 10.

(Сканави, 8. 437, гр. В)

Рассмотрим левую часть равенства.

т. е.

Аналогично,

т. е.

Рассмотрим правую часть равенства.

т. е.

Исходное уравнение равносильно системе:

Пример 11.         (Д/З, Сканави, 8. 448. гр..В)

                       

Ответ.

Пример 12. (Сканави, 8. 479.)

                               ОДЗ:

Пример 13. (Сканави, 8. 406, гр. В)

Ответ.

Пример 14.         (Д/З)

                       Ответ.