Классификация функций

Классификация функций

Всё множество функций делят по тому или иному признаку на классы.

Выделим основные классы.

I. Монотонные функций.

Опред. Пусть функция f определена на множестве Х со значениями в У,  Х0Х.

Функция f называется

- возрастающей на Х0, если )

- не убывающей на Х0, если )

- убывающей на Х0, если )

- не возрастающей на Х0, если )

- постоянной на Х0, если

Если функция f обладает на Х0  одним из указанных свойств, то она называется монотонной на Х0.

II. Ограниченные и неограниченные функции.

Опред. Функция f, определенная на множестве Х со значениями в У, называется

- ограниченной сверху, если

При этом А называется верхней гранью f

- ограниченной снизу, если

При этом В называется нижней гранью f

- ограниченной, если f одновременно ограничена сверху и снизу, т. е. 

- неограниченной сверху, если она не является ограниченной сверху

- неограниченной снизу, если она не является ограниченной снизу

- неограниченной, если она неограниченна сверху или неограниченна снизу

Пример.

Функция f(x)=sinx ограничена сверху числом А=1 и ограничена снизу числом А=-1, следовательно является ограниченной.

III. Чётные и нечётные функции.

Опред. Функция f, определенная на множестве Х со значениями в У, называется

- чётной на Х, если

- нечётной на Х, если

Пример.

1. f(x)=x2-чётная функция, т. к. f(-x)=(-x)2=x2=f(x)

2. f(x)=sinx-нечётная функция, т. к. f(-x)=sin(-x)=-sinx=f(x)

3. f(x)=2x+3 не является ни чётной, ни нечётной функцией,

  т. к.f(-x)=2(-x)+3f(x) и f(-x)-f(x)

Заметим, что график чётной функции симметричен

относительно оси ординат Оу

График нечётной функции симметричен

относительно начала координат.

IV. Периодические функции.

Опред. Функция f, определенная на множестве Х со значениями в У, называется периодической, если . Число T называется периодом функции f(x).

Опред. Наименьший положительный период функции (если существует) называется основным периодом функции.

Пример.

f(x)=sinx-периодическая функция с периодом T=2