Эконометрика-2
Домашняя работа 1
Задача 1. Процесс 
задан равенством 
, где 
- белый шум с единичной дисперсией, а 
- некоторые начальные значения. Каким условиям должны удовлетворять случайные величины 
, чтобы процесс 
был стационарным?
Решение.
Для того, чтобы процесс 
был стационарным, достаточно, чтобы:
было равно нулю Величины 
имели одинаковую дисперсию (ниже найдем ее) Величины 
имели правильный коэффициент корреляции (ниже найдем его) Ковариация 
. Дисперсия 
, и наконец , ковариация 
. Решив эту систему линейных уравнений, получим выражение для дисперсии 
:
.
Коэффициент корреляции 
равен
.
Задача 2. Дан процесс 
, где 
- белый гауссовский шум с дисперсией 
. Определим процесс 
:
Покажите, что процесс 
является стационарным, и найдите его ACF.
Решение.
Процесс является стационарным, если его среднее, дисперсия и все автокорреляции постоянны во времени. Таким образом, необходимо найти все эти величины и убедиться, что они не зависят от 
. Заметим, что поскольку 
, 
– независимые нормальные величины, то случайная величина 
также нормальна со средним 
и дисперсией 
. Поэтому
(не зависит от 
)
(не зависит от 
)
Поскольку при 
, то эти величины будут независимы. Поэтому для 
Для 
искомая вероятность будет равна
Прежде всего мы видим, что она не зависит от 
, и таким образом стационарность процесса 
доказана – его среднее, дисперсия и все автокорреляционные функции постоянны во времени.
, где 
– cdf стандартной нормальной величины.
Данный интеграл несложно вычислить при 
(он равен 
) и при 
(он равен 
). Для промежуточных значений аналитической формы получить не удаётся; численное интегрирование приводит к следующим результатам:
Задача 3. Постройте 
-представление для процесса МА(2): 
, где 
- белый гауссовский шум.
Решение.
Поскольку 
, и корни уравнения 
- это 
, то получаем равенство
, или 
.
Задача 4.
Пусть 
- AR(1)-процесс: 
, Покажите, что МНК-оценка параметра 
в регрессии 
является
а) состоятельной;
б) асимптотически нормальной с параметрами 
.
Решение.
1-й вариант. МНК-оценка выглядит следующим образом :
.
Знаменатель сходится по закону больших чисел (по вероятности) к 
. Поскольку ошибки 
некоррелированы с 
, и по закону больших чисел, числитель сходится к 
, то оценка является состоятельной.
Рассмотрим разность
.
Знаменатель сходится по вероятности к 
, а числитель, в силу эргодичности последовательности 
, сходится по распределению к гауссовской случайной величине с параметрами 
. Следовательно, дробь сходится к нормальной случайной величине с параметрами 
, поскольку 
. Из этого следует утверждение задачи.
2-й вариант. Для простоты будем считать, что ошибки 
имеют совместное нормальное распределение со средним 
и ковариационной матрицей 
. (Само утверждение задачи справедливо при более слабых условиях, но методы доказательства в этом случае выходят за рамки программы.) Запишем логарифмическую функцию правдоподобия (условную, при условии 
):
Максимизируя ее по 
и 
, получаем оценку максимального правдоподобия для 
. Нетрудно заметить, что 
.
Найдем асимптотическое распределение оценки 
. Для этого достаточно найти
Отсюда (в силу стационарности процесса 
) получаем, что 
и 
. Следовательно, 
. Что и требовалось доказать.
