Рабочая программа по дисциплине «Теория чисел»

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Уральский государственный педагогический университет»
Институт математики, информатики и информационных технологий

Кафедра высшей математики

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине «Теория чисел»

для ОПОП 44.03.05 «Педагогическое образование»

(с двумя профилями подготовки)

ИНФОРМАТИКА И МАТЕМАТИКА

Уровень бакалавриата

Екатеринбург 2016

Рабочая программа по дисциплине «Теория чисел»

Составитель: , доцент, к. ф.-м. н., доцент, кафедра высшей математики Института математики, информатики и информационных технологий УрГПУ

(подпись)

Рабочая программа дисциплины обсуждена на заседании кафедры высшей
математики УрГПУ

Протокол от 10.03.16 г.  № 6.

Зав. кафедрой 
                                                               (подпись)

Руководитель учебного подразделения                                
                                                               (подпись)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Наименование дисциплины: «Теория чисел». Цели и задачи дисциплины.

Цели изучения  дисциплины заключаются в формировании и развитии у студентов общекультурных и профессиональных компетенций, регламентируемых профильным ФГОС, в частности, выпускник, освоивший программу бакалавриата, должен обладать

– способность использовать естественнонаучные и математические знания для ориентирования в современном информационном пространстве  (ОК-3);

– готовностью реализовывать образовательные программы по учебному предмету в соответствии с требованиями образовательных стандартов (ПК-1).

Место дисциплины в структуре ООП.

Дисциплина «Теория чисел» относится к обязательным дисциплинам вариативной части ОП 44.03.05 «Педагогическое образование» (с двумя профилями подготовки: Информатика и математика). Она непосредственно связана с дисциплинами естественнонаучного и математического цикла «Алгебра», «Геометрия», «Математический анализ», «Дискретная математика» и опирается на освоенные при изучении данных дисциплин знания и умения.

Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоениями образовательной программы:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций студентов

Общекультурные компетенции

ОК-3 – способность использовать естественнонаучные и математические знания для ориентирования в современном информационном пространстве.

Профессиональные компетенции

ПК-1 – Готовность реализовывать образовательные программы по учебному предмету в соответствии с требованиями образовательных стандартов.

Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах.

Согласно учебному плану курс «Теория чисел» на очном отделении изучается бакалаврами на 3 курсе в 5 семестре, форма контроля – зачет с оценкой. На изучение курса отводится 72 учебных часа,  в т. ч. 28 уч. ч. аудиторных занятий, 44 уч. ч. самостоятельной работы студентов (СРС). Аудиторные занятия включают 14 уч. ч. лекций и 14 уч. ч. практических занятий. Контроль и организация самостоятельной работы студентов осуществляются с помощью индивидуальных домашних заданий, охватывающих все разделы курса.

Общая трудоемкость дисциплины составляет две зачетные единицы.

Особенности реализации дисциплины (модуля).

Дисциплина «Теория чисел» реализуется на русском языке.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения

№ п/п	Наименование раздела, темы	Всего тру- доем- кость	Аудиторные занятия	Самостоя- тель- ная работа
Все- го	Лек- ции	Пра- кти- чес- кие	Ла- бора- тор- ные
1	Делимость целых чисел, НОД и его свойства	19	8	4	4	11
2	Простые числа	15	4	2	2	11
3	Теория сравнений	19	8	4	4	11
4.	Числовые функции	19	8	4	4	11
Итого	72	28	14	14	44

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Структурированное содержание дисциплины

№ п/п	Наименование раздела (темы)	Содержание раздела
1	Делимость целых чисел, НОД и его свойства.	Делимость целых чисел, свойства делимости. Частное и остаток. Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида. Взаимно простые числа и их свойства. Наибольшее  общее кратное.
2	Простые числа.	Простые числа. Свойства простых чисел. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Каноническое разложение натуральных чисел.
3	Теория сравнений	Сравнения. Свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Сравнения первой степени с одним неизвестным.
4	Числовые функций	Функции [x],{x}, τ(n), σ(n). Функция Эйлера.

Перечень тем лекционных занятий

Лекция № 1 Отношение делимости в кольце целых чисел.  Теорема о делимости с остатком.

Лекция № 2 Наибольший общий делитель нескольких чисел. Алгоритм Евклида. Взаимно простые числа.

Лекция № 3 Простые числа. Свойства простых чисел. Каноническое разложение натуральных чисел.

Лекция № 45 Числовые функции [x],{x}, τ(n), σ(n). Функция Эйлера.

Лекция № 5 Сравнения. Свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов. 

Лекция № 6 Сравнения с неизвестной величиной. Сравнения первой степени. Методы решений. 

Лекция № 7 Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.

Перечень тем практических занятий

Занятие № 1 Делимость целых чисел и его свойства.

Занятие № 2 Теорема о делении с остатком.

Занятие № 3 НОД чисел. Алгоритм Евклида.

Занятие № 4 Простые числа. Решето Эратосфена. Каноническое разложение натурального числа.

Занятие № 5 Сравнения. Свойства сравнений.

Занятие № 6 Полная и приведенная системы вычетов.

Занятие № 7 Сравнение первой степени с одним неизвестным.

Перечень тем лабораторных работ

Согласно учебному плану выполнение лабораторных работ по данной дисциплине не предусмотрено.

Вопросы для контроля и самоконтроля Отношение делимости в кольце целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД  целых чисел. Алгоритм Евклида. Свойства НОДа целых чисел. Взаимно простые числа и их свойства. Наименьшее общее кратное и его свойства. Простые числа. Свойства простых чисел. Решето Эратосфена. Основные теоремы арифметики. Каноническое разложение натурального числа. Сравнения. Свойства сравнений. Полная система вычетов. Признак полной системы вычетов. Приведенная система вычетов. Признак приведенной системы  вычетов. Функция Эйлера. Теорема Эйлера. Способы решения сравнений первой степени с одним неизвестным.
Перечень тем занятий, реализуемых в активной и интерактивной формах

Каждая лекция содержит в себе интерактивные фазы проведения занятия.  Так, например, при изучении первой темы НОД и НОК целых чисел студентам предлагается активное участие в разработке алгоритма Евклида для нахождения НОДа чисел м выведение формулы для нахождения НОКа. При изучении приложений теории сравнений предлагается самостоятельно доказать некоторые признаки делимости

Все практические занятия проводятся в интерактивной форме, начиная с анализа условия задач до обсуждения вариантов решения.

ПЕРЕЧЕНЬ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Темы, вынесенные на самостоятельное изучение
Решение в целых числах уравнения    Системы счисления. Перевод числа из одной системы счисления в другую. Подходящие дроби и их свойства.
Вопросы для подготовки к теоретической части экзамена
Отношение  делимости на  множестве  Z  и его свойства. Теорема  о делении  с остатком. НОД  двух  чисел. Алгоритм  Евклида. Линейная  форма НОДа  двух  чисел.  Свойства НОДа.  НОД  нескольких  чисел. Взаимно  простые  числа  и их свойства. НОК  двух  чисел.  Формула  для  НОК. Свойства  НОК  двух  чисел.  НОК  нескольких  чисел, его вычисление. Простые  и составные  числа. Свойства  простых  чисел. Теорема о  бесконечности  множества  простых  чисел. Основная  теорема  арифметики. Каноническое разложение  числа. Нахождение НОД и НОК двух  натуральных  чисел  по  их каноническому разложению. Конечные  цепные  дроби.  Представление  рационального  числа в виде конечной цепной  дроби. Отношение сравнимости по модулю m  и  его  свойства. Классы вычетов по модулю  m. Полная  система  вычетов по модулю  m  и ее  свойства. Приведенная  система  вычетов по модулю m и  её свойства. Функция Эйлера.  Свойство  мультипликативности  функции  Эйлера. Вывод  формул для вычисления  функции Эйлера. Теорема Эйлера. Сравнения  с одним неизвестным. Решение  сравнения.  Равносильные сравнения. Сравнения  первой степени. Теорема о числе решений сравнения  первой степени. Способы решения сравнений  первой степени.

4.5 Типы задач для подготовки к практической части экзамена.

Решить задачу, применяя  определения НОД и НОК целых чисел. Решить задачу, применяя  определения простого и составного числа. Решить задачу, применяя  свойства сравнений. Решить задачу, применяя  функцию Эйлера. Решить задачу, применяя  определение полной и приведенной систем вычетов. Решить задачу, применяя  теорему Эйлера. Решите  сравнение первой степени с одним неизвестным. Решить задачу, применяя  признаки делимости. Выделите все этапы решения указанной алгоритмической задачи. Оцените правильность и рациональность предложенного решения задачи. Составьте несколько задач по указанным данным и опишите способы их решения. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

Смотри Приложение 1.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

6.1. Рекомендуемая литература

Основная

Виленкин и теория  чисел. Ч.3: учеб. пособие для студентов-заочников пед. ин-тов  -  Просвещение, 1984. - 192с. Виноградов теории  чисел. - 10-е изд., стер. - СПб.: Лань, 2004. -176с.   Сборник упражнений по теории чисел:  учеб. пособие для пед. Ин-тов - М.: Просвещение, 1964. - 144 с. Ильиных чисел: учеб. пособие Урал. гос. пед. ун-т. - Екатеринбург: УрГПУ, 2003. - 148с. Кудрявцев задач по теории чисел:  учеб. Пособие для вузов - М.: Просвещение, 1970. - 128 с. Смирнова контрольных заданий по «Теорир чисел»: метод. разработка, Урал. гос. пед. ун.-т; Екатеринбург: УрГПУ, 1997. - 34 с.

Дополнительная

Боревич, З. И.  Теория чисел. - М., Наука, 1985. - 496 с. Бухштаб,   чисел: учеб. пособие для  физ.-мат. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1966. - 384 с. Девенпорт, Г.  Высшая  арифметика. - М., Наука, 1965.   Живые  числа:  пять экскурсий. - М., Мир, 1985. Карацуба, А. А.  Основы  аналитической  теории  чисел. - М., Наука, 1983. Кочева, А. А.  Задачник-практикум  по алгебре и теории  чисел: учебное  пособие для студентов-заочников 2 курса физ.- мат. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1984. Малаховский, В. С.  Числа знакомые и незнакомые: учеб. пособие - Калининград: Янтар. сказ, 2005 - 184 с. Михелович,   чисел:  учеб. пособие - М.: Высш. Шк., 1967. - 336 с. Шнеперман, Л. Б.  Сборник  задач по алгебре и теории чисел:  учеб. Пособие для студентов  физ.-мат. спец.  вузов - Минск.: Дизайн ПРО., 2000. – 240 с.

6.2 Информационное обеспечение дисциплины

Электронный оптический диск (CD-ROM), подготовленный для студентов математического факультета с учебными и методическими материалами по дисциплинам кафедры алгебры и теории чисел.  Цифровые образовательные ресурсы сети Интернет www. exponenta. ru; www. school. edu. ru), http://e-lib. uspu. ru.
МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

При изучении дисциплины  рекомендуется использовать технические средства обучения (персональные компьютеры, медиа проектор).

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ

Фамилия Имя Отчество
ученая степень	к. ф.-м. н.
ученое звание	доцент
должность и место работы	доцент, каф. высшей математики
рабочий телефон	[phone]

Приложение 1

Материалы ФОС

для промежуточной аттестации (экзамена) по дисциплине «Теория чисел»

ОПОП 44.03.05 «Педагогическое образование»

(с двумя профилями подготовки: Информатика и математика)

       Промежуточная аттестация (зачет с оценкой) по дисциплине проводятся письменно и с последующим индивидуальным собеседованием со студентом по результатам его письменного ответа.

       1°. Перечень компетенций формируемых в процессе освоения дисциплины, заявленных в РУПД:

Общекультурные компетенции

ОК-3 – способность использовать естественнонаучные и математические знания для ориентирования в современном информационном пространстве.

Профессиональные компетенции

ПК-1 – Готовность реализовывать образовательные программы по учебному предмету в соответствии с требованиями образовательных стандартов.