ТИПОВОЙ РАСЧЕТ
ЧАСТЬ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Задача 2.1
Вариант 4. Спиридон, вместо того, чтобы купить грибы в супермаркете, насобирал грибов в лесу.
Из 12 собранных подберезовиков 4 – ложных.
Его жена Феврония сварила грибной супчик, выбрав из корзинки 5 грибов.
Найдите ряд распределения случайной величины о числа ложных подберезовиков в супе, постройте график функции распределения, найдите M о, Dо.
Решение.
Вероятности возможных значений случайной величины.
Ряд распределения случайной величины.
Функция распределения.
График функции распределения
Математическое ожидание.
Дисперсия.
Задача 2.2.
Вариант 14. При передаче сигнала возможно его искажение.
ξ - независимая случайная величина – число искаженных сигналов.
А) Число сигналов – 11, вероятность искажения сигнала – 0,35.
Составить ряд распределения случайной величины.
Найти математическое ожидание, дисперсию.
Какова вероятность того, что будет искажено не более одного сигнала?
Б) Число сигналов – 200, вероятность искажения сигнала – 0,03.
Найти математическое ожидание, дисперсию.
Какова вероятность того, что будет искажено более 2-х сигналов?
Решение задачи А.
Случайная величина ξ имеет область значений (0,1,2,...,11).
Вероятности этих значений можно найти по формуле (схема Бернулли):
Математическое ожидание.
Дисперсия.
Вероятность искажения не более 1 сигнала.
Решение задачи Б.
Математическое ожидание.
Дисперсия.
Среднее квадратическое отклонение.
Событие, что будет искажено более 2-х сигналов противоположно событию, что будет искажено не более 2-х сигналов.
Применяем интегральную теорему Муавра-Лапласа.
Вероятность того, что будет искажено более 2-х сигналов.
Задача 2.3.
Вариант 14.
Кубик бросают до первого появления события А (число бросков неограниченно).
Для варианта 14, А – появление четного количества очков.
Построить ряд распределения дискретной случайной величины о – числа произведенных бросков.
Найти математическое ожидание и дисперсию о.
Найти вероятность того, что будет произведено от 2-х до 4-х (включительно) бросков.
Решение.
Будем бросать кубик до тех пор, пока не выпадет четное количество очков.
Посчитаем, с какой вероятностью это случится ровно за N бросков.
Для первого броска (N = 1), очевидно, вероятность успеха
Для второго (N = 2) это вероятность успеха во втором броске и неудачи в первом:
Аналогично, для третьего броска (N = 3)
И т. д.
Вообще, для n-го броска где p – вероятность успеха в единичном испытании.
Закон распределения называется геометрическим.
Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения:
В нашем примере.
Найти вероятность того, что будет произведено от 2-х до 4-х (включительно) бросков.
Задача 2.4 .
Дана функция распределения непрерывной случайной величины F(x).
Найти плотность распределения f(x), параметр А, вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал (б, в), математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины.
Построить графики f(x) и F(x).
Решение.
Функция распределения.
Плотность распределения – производная.
Свойство плотности распределения:
Тогда
Функция распределения.
Плотность распределения.
Вероятность попадания в заданный интервал.
Математическое ожидание.
Дисперсия непрерывной случайной величины.
Графики (функция распределения и плотность вероятности).
Задача 2.5.
Вариант 14. Непрерывная случайная величина распределена равномерно на отрезке [A,8].
Математическое ожидание равно 3,5.
Найти параметр распределения А, функцию распределения, плотность распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения случайной величины.
Найти дисперсию случайной величины и вероятность попадания в интервал (-3;7).
Решение.
Для равномерного закона распределения на отрезке [a, b] справедливы формулы:
В нашем примере известно математическое ожидание, т. е. решаем уравнение.
Плотность распределения по равномерному закону и график.
Функция распределения по равномерному закону и график.
Дисперсия.
Вероятность попадания в интервал (-3;7) – площадь прямоугольника.
Задача 2.6.
Вариант 14.
Среднее значение непрерывной случайной величины о, распределенной по показательному закону, равно 2*14 = 28 (номер варианта).
Найти плотность распределения случайной величины о, функцию распределения, построить графики этих функций.
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины о и вероятность того, что значение о попадает в интервал (14, 28).
Решение.
Для показательного закона справедливы формулы:
Следовательно, по заданному среднему значению можно найти параметр.
Плотность вероятности задаётся формулой:
График плотности вероятностей.
Функция распределения задаётся формулой:
График функции распределения.
Математическое ожидание.
Дисперсия.
Среднее квадратическое отклонение.
Вероятность того, что значение о попадает в интервал (14, 28).
Задача 2.7.
Вариант 14. При испытании орудия отклонение снаряда по дальности распределено по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и среднеквадратическим отклонением, равным 25 м.
Найти вероятность того, что отклонение по дальности по абсолютной величине не превосходит 12 м.
Решение.
Для нормального закона справедлива формула:
Для данной задачи.
Задача 2.8.
Вариант 14. После изготовления 70 одинаковых деталей проходят проверку на соответствие качеству.
Вероятность брака для каждой детали одинакова (независимо от других) и равна 0,3.
Найти вероятность того, что проверку успешно пройдут от 20 до 30 деталей.
Сколько нужно проверить деталей, чтобы вероятность отклонения относительной частоты появления бракованной детали от вероятности этого события менее чем на 0,1 по абсолютной величине, была равна 0,95.
Решение.
Применяем интегральную формулу Муавра-Лапласа (биномиальный закон).
По условию задачи.
Вероятность отклонения относительной частоты появления бракованной детали от вероятности этого события вычисляется по формуле.
Нужно проверить более 80 деталей.
