Свойство описанного четырехугольника

ТЕМА: СВОЙСТВО ОПИСАННОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА

8 КЛАСС

Цель деятельности учителя: создать условия для введения свойства описанного четырехугольника и совершенствовать навык решения задач с использованием свойства описанного четырехугольника.

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания.

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий; умеют применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач. Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности. Коммуникативные: формулируют, аргументируют и отстаивают свое мнение. Личностные: проявляют инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач.

.

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности: проверить выполнение домашнего задания

Формы работы: индивидуальная (И)

Тест с последующей самопроверкой (см. Ресурсный материал)

II этап. Мотивация к изучению новой темы (постановка учебной задачи)

Цель деятельности: решение задач на готовых чертежах с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала

Формы работы: фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Решить 

  Найти: радиус окружности, вписанной в треугольник

  со сторонами 10 см, 10см, 12 см. 

Центр О вписанной окружности искомого радиуса r лежит на биссектрисе СМ треугольника АВС, а также СМ АВ, вписанная окружность касается отрезка АВ в точке М. Поэтому ОМ = r. Разобрать различные способы  решения этой задачи.

Способ1.

АМ = АВ = 6 см. М и N – точки касания, следовательно, АN = АМ = 6 см, откуда

СN  = АС – АN = 4 см.

В ∆АСМ: СМ = = 8 см

В ∆СОN: СО2 = СN2 + ON2, то есть (8 – r)2 = 42 + r2; 64 - 16r + r2 = 16 + r2; r = 3 см.

Способ2.

АМ = АВ = 6 см, СМ = = 8 см. Отрезок АО – биссектриса треугольника АСМ ( так как О - центр вписанной окружности), поэтому = или = ;

10r = 48 – 6r, r = 3 см.

Ответ: r = 3 см.

  Дано: ABCD – равнобедренная трапеция.

  Найти: DC и AB.

  Ответ: DC = 8, АВ = 10

III этап. Изучение нового материала (совместная деятельность)

Цель деятельности: рассмотреть свойство описанного четырехугольника

Формы работы: (Ф/И) 1.Объяснить, что не во всякий четырехугольник можно вписать окружность, на примерах прямоугольника (рис.3); параллелограмма (рис.4). Слайд 1-6

2. Сформулировать свойство описанного четырехугольника и предложить доказать его самостоятельно, а затем заслушать и обсудить варианты доказательств. Слайд 7-8

Теорема. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. 

  АВ, ВС, СD, AD – касательные, отрезки

касательных, проведенные из вершин

четырехугольника, равны, т. е АN = AF = b,

BE = BF = c, CE = CR = d, DR = DN = a.

AB + CD = a + b + c + d. AD + BC = a + b + c + d.

AB + CD = AD + BC.

Разобрать коллективно задачу № 000

3. Задание для учащихся; сформулировать утверждение, обратное свойству четырехугольника, и выяснить его справедливость (см. задачу № 000) Слайд 10-11

IV этап. Закрепление изученного материала

Цель деятельности: совершенствовать навыки решения задач

Формы работы: (Ф)

На доске и в тетради разобрать решение задачи № 000 . Слайд 12.

Наводящие вопросы:

- Разобьем многоугольник на треугольники с общей вершиной О. Что вы можете сказать о площадях этих треугольников?

- Чему равна площадь многоугольника?

  V этап. Итоги урока. Рефлексия.

Формы работы: (Ф/И)

- Закончите предложения

Если выпуклый четырехугольник описан около окружности, то…(суммы его противоположных сторон равны) Если существует окружность, вписанная в четырехугольник, её центр лежит на … (пересечении биссектрис углов этого четырехугольника) В параллелограмм можно вписать окружность, тогда и только тогда, когда он  …(ромб) Площадь описанного четырехугольника…(равна произведению его полупериметра на радиус этой окружности)

- Оцените свою работу

Формы работы: (И) Домашнее задание: № 000,  698.

Ресурсный материал

Тест

Вариант 1

1. Цент вписанной в треугольник окружности совпадает с точкой пересечения его …

а) медиан;

б) биссектрис;

в) серединных перпендикуляров.

2. Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от …

а) сторон;

б) углов;

в) вершин треугольника.

3. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его медиан. Этот треугольник …

а) прямоугольный;

б) равнобедренный;

в)  равносторонний.

4. Окружность называется вписанной в многоугольник, если …

а) все его стороны касаются окружности;

б) все его вершины лежат на окружности;

в) все его стороны имеют общие точки с окружностью.

Вариант 2

1. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра окружности до …

а) сторон треугольника;

б) вершин треугольника;

в) углов треугольника.

2. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности может лежать...

а) на любой из его высот;

б) на одной из его медиан;

в) на любом из его серединных перпендикуляров.

3. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Этот треугольник может быть …

а) произвольным;

б) только равносторонним;

в) прямоугольным.

4. Многоугольник называют описанным около окружности, если …

а) окружность имеет общие точки с его сторонами;

б) окружность проходит через его вершины;

в) окружность касается всех его сторон.

Ответы к тесту	1	2	3	4
Вариант 1	б	а	в	а
Вариант 2	а	б	а	в