Формулы х = 
, у = 
выражают правило Крамера для нахождения решения системы в том случае, когда Δ ≠ 0.
Рассмотрим решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Решить систему уравнений3х – 2у = 8,
5х + 7у = 3.
3 -2 8 -2 3 8
Δ = = 21 –(-10)= 31, Δх= = 62, Δу = = -31.
5 7 3 7 5 3
х = 
= 2, у = 
= -1.
Ответ: (2; -1).
Задания для самостоятельного решения:
Вычислить определитель:1). 3 4 2). 2 -3 3). 1 8 4). 0,1 -0,5
-1 2 -5 4 2 0 2 -10
Δ = 10 Δ = - 7 Δ = - 16 Δ = 0.
Решить систему уравнений:1). 3х – 4у = 7, 2). 6х + 7у = 9, 3). 9х – 11у = 1, 4). 3х – 5у = -8,
2х + 5у = -3. 5х – у = -13. 6х – 7у = 2. 7х – 4у = -2.
Ответ:(1,- 1) Ответ:(- 2, 3) Ответ:(5, 4) Ответ:(22/23, 50/23)
4.Доказать, что при любом значении а данная система имеет единственное решение, и найти это решение.
1). 3х + ау = а, 2). ах + 4у = - а,
ах – 2у = а2 + 4. –х + 5ау = 1.
Ответ: (а, - 2). Ответ: (- 1, 0)
5.Найти все значения а и b, при которых система уравнений
а). не имеет решений; б). имеет множество решений; в). имеет единственное решение.
3х – 4у = 12,
9х + ау = b.
Ответ: а) а = - 12, b = 36. б) а = - 12, b ≠ 36. в) а ≠ - 12.
2.Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Определители третьего порядка.
Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.
а1х + b1y + c1z = d1,
a2x + b2y + c2z = d2,
a3x + b3y + c3z = d3.
а1 b1 c1
Δ = a2 b2 c2 = a1 b2 c3 + a2 b3 c1 + a3 c2 b1 – a3 b2 c1 – b3 c2 a1 – a2 b1 c3
a3 b3 c3
Покажем правило вычисления определителя.
а1 b1 c1 а1 b1 c1 а1 b1 c1 а1 b1 c1 а1 b1 c1 а1 b1 с1
a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 с2
a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 с3
а). б). в). г) д). е).
d1 b1 c1 а1 d1 c1 а1 b1 d1
Δх= d2 b2 c2 Δу = a2 d2 c2 Δz = a2 b2 d2
d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3
Корни системы находятся по формулам: х = 
, у = 
, z = 
при Δ ≠ 0.
Изложенный способ решения называют правилом Крамера.
Задания для самостоятельного решения:
Решить систему уравнений2х – у + 3z = 14,
4x + 5y – 2z = -3,
x – 6y + z = 11.
Решение.
2 -1 3 14 -1 3 2 14 3 2 -1 14
Δ = 4 5 -2 = -95, Δх = -3 5 -2 = -190, Δу = 4 -3 -2 = 95, Δz = 4 5 -3 = -285
1 -6 1 11 -6 1 1 11 1 1 -6 11
х = 
= 2, у = 
= -1, z = 
= 3.
Ответ: (2; -1; 3).
Вычислить определитель:1). 2 3 0 2) 2 1 7 3). 2 3 5 4). 4 8 5 5). 3 -5 8 6). 1 0 -4
-1 4 5 4 2 9 1 2 4 1 -2 -3 4 8 1 3 0 5
3 1 6 6 3 11 3 8 10 5 8 2 1 5 -3 -2 6 1
Δ = 101 Δ = 0 Δ = - 8 Δ = 0 Δ = - 80 Δ = - 102
Решить систему уравнений1). x – 2у + 4z = 5, 2) x – y – z = -8, 3) x – 5y + 3z = - 1, 4) x – y - z = 2.
3x + 4y – z = -1, x + y – z = 4, x – y + z = 1. x – 2у - 3z = 3.
2x + y – 2z = -5. x – y + z = 6.
Ответ: (- 1, 1, 2). Ответ: (5,6,7). Ответ: (2, 0, - 1). Ответ: (0, - 3, 1).
3. Метод Гаусса.
Рассмотрим решение системы линейных алгебраических уравнений с несколькими неизвестными с помощью метода Гаусса, который заключается в том, чтобы преобразовать систему к треугольному виду.
Решить систему уравнений1). х1 – 2х2 + х3 – 3х4 = 6, *-2)*-5)*-3). х1 – 2х2 + х3 – 3х4 = 6,
2х1 – 5х2 - 3х3 + х4 = - 11, – х2 - 5х3 + 7х4 = -23, *2)*5)
5х1 – 8х2 + 6х3 – 4х4 = 24, 2х2 + х3 + 11х4 = - 6,
3х1 – х2 + х3 + 12х4 = - 4. 5х2 - 2х3 + 21х4 = - 22.
х1 – 2х2 + х3 – 3х4 = 6, х1 – 2х2 + х3 – 3х4 = 6,
– х2 - 5х3 + 7х4 = -23, – х2 - 5х3 + 7х4 = -23,
- 9х3 + 25х4 = - 52, *-3) - 9х3 + 25х4 = - 52,
- 27х3 + 56х4 = - 137. – 19х4 = 19.
Ответ: х4 = - 1, х3 = 3, х2 = 1, х1 = 2.
Решить системы:
2). 2х1 – 4х2 + х3 – 5х4 = 2, 3). 2х1 – х2 + х3 + х4 = 0,
4х1 – 7х2 - х3 – 8х4 = -5, х1 – 2х2 - х3 – х4 = 3,
10 х1 – 18х2 + 2х3 – 23х4 = 3, х1 + х2 - 2х3 + х4 = 5,
2х1 – 3х2 + х3 – х4 = 0. х1 – х2 + х3 + 2х4 = -1.
Ответ: (1, 2, 3, -1). Ответ: (1, 0, - 2, 0).
Задания для самостоятельного решения:
1. Решить систему уравнений
1). 7/4х – 5/3у = -1, 2). х/5 + 5у/8 = -2,
3/8х – 4/9у = -1. 8х/5 + 7у/4 = 10.
Ответ:(8, 9) Ответ:(15, - 8)
2.Найти все значения а, при которых не имеет решений система уравнений:
1). ах + 3у = а2 + 1, 2). 2ах + у = а2 – 2а,
(3а + 14)х + (а + 8)у = 5а2 + 5. -10х + (а – 6)у = 10а – 5а2.
Ответ: а = - 6. Ответ: а = 5.
3. Решить систему уравнений
4) x + y – z = 4, 5) x - y – z = 2,
x - y + z = 6, x - y – 2z = 1,
x - y – z = - 8. x - 2y – 3z = 3.
Ответ: (5, 6, 7). Ответ: (0, - 3, 1).
6) x + y – z = 4, 7) 2x + y – z = 1,
x - y + z = -2, x - y + 2z = 4,
x - 5y + 5z = 1. 5x + 3y – 4z = 3.
Ответ: Ш. Ответ: Ш.
8) 2х – 4у + z = 3, 9) x – y – 2z = 1,
x – 5y + 3z = -1, x – y – z = 2,
x – y + z = 1. x – 2y – 3z = 3.
Ответ: (2; 0; -1), Ответ: (-1; 1; 2).
10) x – 2y + 3z = 5,
2x – 3y + 4z = 7,
3x – 7y + 11z = 21. Ответ: Ш.
4.Системы линейных неравенств.
Рассмотрим решение линейных неравенств (на координатной плоскости).
1.Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству.
1). 2у – 3х – 6 0.
Решение. Построим график прямой по точкам.
х = 0, у = 3.
у = 0, х = - 2.
у
3
- 2
х
Ответ: множество точек лежащих ниже прямой.
2) 2х + 3 0. т. е. х - 3/2.
Решение. Построим график прямой х = - 3/2.
У
- 3/2 Х
Ответ: множество точек лежащих левее прямой.
3). 3х – 4у – 12 0, или 4у – 3х + 12 > 0.
Решение. Построим график прямой по точкам.
х = 0, у = - 3.
у = 0, х = 4.
У
4 х
- 3
Ответ: множество точек лежащих выше прямой.
Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих системе неравенств.
1) х ≥ 0,
у ≥ 0,
х + у – 2 ≤ 0,
2у – х – 1 ≥ 0.
Решение.
Построим графики прямых по точкам.
у + х – 2 =0 и 2у – х – 1 =0
х = 0, у = 2. х = 0, у = 1/2
у = 0, х = 2. у = 0, х = - 1.
у
2
А
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
