Оглавление

Оглавление.

Часть 1.

Глава 1Введение в анализ

1.1Числовые множества.

Натуральные, рациональные и действительные числа (определяются как бесконечные десятичные дроби).  Их изображение, сравнение, модуль.(2-3)

Числовые множества на прямой. Примеры

интервалов и полуинтервалов, в том числе бесконечных.

Операции  Окрестности точек и . Их обозначения,

изображение и разные виды записи через неравенства и промежутки.(3-4)

Определение  множеств, ограниченных сверху, снизу, и просто ограниченного множества. Нижняя и верхняя грани. Примеры.(5-6)

1.2.Числовые функции.

Определение функции, область определения. Способы задания.

Образ множества. Область значений. Примеры.

График функции.(6)

Четные и нечетные, периодические функции.(7)

Ограниченные и  монотонные функции. Графический смысл. Интервалы монотонности.(7)

Сложная функция. Обратная функция и ее график. Пример.

Теорема о существовании обратной функции (б. д.)(8-9)

Глава 2. Последовательности и их пределы.

2.1Определение. График. Монотонность и ограниченность. Пример.(10-11)

2.2Пределы последовательностей, конечные и бесконечные. Графический смысл. Сходящиеся последовательности. Примеры ( известные по графикам функций)(11-14)

2.4 Общие св-ва пределов. Подпоследовательность, теорема о пределе

  подпоследовательности. (15)

2.5 Связь ограниченности с пределами  последовательностей. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Пример ограниченной несходящейся последовательности (16). Признак Вайерштрасса сходимости монотонной последовательности (17-18). Ограниченность и бесконечные пределы (18).

2.6Арифметические св-ва сходящихся последовательностей (18-19) . Пример вычисления предела

(20)

Определение числа e (21-22).

Глава 3. Пределы функций, неперерывные функции. 

3.1Всевозможные движения по оси OX. Рассматриваемые движения по оси OY.  Предел функции как связь определенного движения  аргумента по оси OX с каким-то возможным движением значений функции  по оси OY(2).

Общее определение конечных и бесконечных пределов (3). Графический смысл предела функции - движение графика функции  к символической «точке» (A, B) при движении по оси OX  к A(4).  Примеры(3).

3.2 Общие свойства конечных пределов.  Арифметические свойства конечных  пределов  Бесконечно малые и бесконечно большие функции,  свойства бесконечно малых.

3.3Основное свойство конечных пределов.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых.

Свойства бесконечных пределов и основные неопределенности. Примеры.(4-5)

3.4 Связь пределов и неравенств. Сохранение строгого неравенства между пределами. Переход к пределу в нестрогом неравенстве. Переход к пределу в двойном неравенстве.

3.5 Вычисление пределов подстановкой, непрерывные функции.  Арифметические свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функций.

Примеры вычисления пределов(замечательные пределы).

3.6 Эквивалентность функций. Стандартные эквивалентности при x. 

Теорема о замене на эквивалентные при переходе к пределу. Примеры применения.

3.7Сравнение функций через символ «о».

  Шкала бесконечностей для функций. Пример использования.

3.8 Теоремы о непрерывных на отрезке функциях(2 теоремы Вайерштрасса и Теорема Коши со следствием).

3.9 Точки разрыва и их классификация.

Глава 4. Дифференциальное исчисление.

4.1. Касательная к графику. Дифференцируемость. Условие дифференцируемости.  Непрерывность дифференцируемой в точке функции.

  Формула линеаризации(Ф. Л.). Производная. Формула для вычисления производной. Уравнение касательной и Ф. Л. через производную. Дифференциал и его графический смысл. Примеры  вычисления производных.

4.2 Арифметические свойства производных. Примеры. Производная сложной функции. Таблица производных.

4.3 Точки экстремума. Необходимое условие ( Теорема Ферма). Свойства функций, имеющих производную на интервале.(Теоремы Роля, Лагранжа, Коши)

4.4 Применение первой  производной  к исследованию функций: достаточные условия  монотонности и экстремума через первую производную. Примеры.

4.5 Производные высших порядков. Достаточные условия экстремума  с использованием второй  производной.

Определения точек вогнутости, выпуклости

и перегиба. Вывод достаточных условий вогнутости, выпуклости и перегиба.

4.6 Асимптоты к графику. Их виды. Формулы для нахождения.

4.7 Схема полного исследования функций с построением графика.

Примеры.

4.8 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора. Стандартные разложения по формуле  Маклорена.

4.9  Правило Лопиталя. Примеры