Вариант

Вариант № 2

2. A 1 № 000. Из­вест­но, что число от­ри­ца­тель­ное. На каком из ри­сун­ков точки с ко­ор­ди­на­та­ми рас­по­ло­же­ны на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой в пра­виль­ном по­ряд­ке?

1) 1
2) 2
3) 3
4) 4

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку , имеем: По­сколь­ку имеем:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром: 1.

3. A 2 № 000. Между ка­ки­ми чис­ла­ми за­клю­че­но число

1) 8 и 9
2) 72 и 74
3) 24 и 26
4) 4 и 5

Ре­ше­ние.

Срав­ним квад­ра­ты при­ведённых в усло­вии чисел:

Число 73 лежит между чис­ла­ми 64 и 81, по­это­му за­клю­че­но между чис­ла­ми 8 и 9.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

4. B 2 № 000. Ре­ши­те урав­не­ние

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: −1.

5. B 3 № 000. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между функ­ци­я­ми и их гра­фи­ка­ми.

Функ­ции

А) y = −2x + 4

Б) y = 2x − 4

В) y= 2x + 4

Гра­фи­ки

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А	Б	В

Ре­ше­ние.

Если пря­мая за­да­на урав­не­ни­ем то при функ­ция воз­рас­та­ет, при — убы­ва­ет. Зна­че­нию со­от­вет­сву­ет зна­че­ние функ­ции в точке

Урав­не­ние задаёт убы­ва­ю­щую функ­цию, пе­ре­се­ка­ю­щую ось ор­ди­нат в точке 4.

Урав­не­ние задаёт воз­рас­та­ю­щую функ­цию, пе­ре­се­ка­ю­щую ось ор­ди­нат в точке −4.

Урав­не­ние задаёт воз­рас­та­ю­щую функ­цию, пе­ре­се­ка­ю­щую ось ор­ди­нат в точке 4.

Тем самым, ис­ко­мое со­от­вет­ствие: А — 4, Б — 3, В — 2.

Ответ: 432.

7. B 5 № 000. Най­ди­те если

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ: 4.

9. B 6 № 000. В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на бис­сек­три­са AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Най­ди­те угол ACB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Пусть угол равен угол равен Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, от­ку­да Ана­ло­гич­но, из тре­уголь­ни­ка По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, угол равен 62°.

Ответ: 62.

10. B 7 № 000. Пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке K. Точка O — центр окруж­но­сти. Хорда KM об­ра­зу­ет с ка­са­тель­ной угол, рав­ный 83°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла OMK. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Угол, об­ра­зо­ван­ный хор­дой и ка­са­тель­ной равен по­ло­ви­не дуги, ко­то­рую он за­клю­ча­ет, по­это­му ве­ли­чи­на дуги MK равна 2 · 83° = 166°. Угол OMK — цен­траль­ный, по­это­му он равен ве­ли­чи­не дуги, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся. Зна­чит, угол OMK равен 166°. В тре­уголь­ни­ке OMK сто­ро­ны OK и OM равны как ра­ди­у­сы окруж­но­сти, по­это­му тре­уголь­ник OMK — рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, углы при ос­но­ва­нии равны. Сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, по­это­му ∠OKM = ∠OMK = (180° − ∠KOM)/2 = (180° − 166°)/2 = 7°.

Ответ: 7.

11. B 8 № 000. В тра­пе­ции ABCD AD = 5, BC = 2, а её пло­щадь равна 28. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

Ре­ше­ние.

Про­ведём вы­со­ту Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний: Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

По­сколь­ку — сред­няя линия, по­это­му От­рез­ки и равны, по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что Найдём пло­щадь тра­пе­ции

Ответ: 11.

12. B 9 № 000. Най­ди­те тан­генс угла, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Углы и в сумме об­ра­зу­ют развёрну­тый угол Зна­чит,

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, изоб­ражённый на ри­сун­ке. Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: −3.

13. B 10 № 000. Ука­жи­те но­ме­ра вер­ных утвер­жде­ний.

1) Любые три пря­мые имеют не более одной общей точки.

2) Если угол равен 120°, то смеж­ный с ним равен 120°.

3) Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой боль­ше 3, то и длина любой на­клон­ной, про­ведённой из дан­ной точки к пря­мой, боль­ше 3.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Любые три пря­мые имеют не более одной общей точки» — не­вер­но, по­сколь­ку пря­мые могут сов­падть и тогда точек пе­ре­се­че­ния бес­ко­неч­но много.

2) «Если угол равен 120°, то смеж­ный с ним равен 120°» — не­вер­но, смеж­ные углы и свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем: .

3) «Если рас­сто­я­ние от точки до пря­мой боль­ше 3, то и длина любой на­клон­ной, про­ведённой из дан­ной точки к пря­мой, боль­ше 3» — верно, т. к. рас­сто­я­ние — длина крат­чай­ше­го от­рез­ка до пря­мой, а все на­клон­ные — длин­нее.

Ответ: 3.

15. B 11 № 000. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик дви­же­ния ав­то­мо­би­ля из пунк­та в пункт и ав­то­бу­са из пунк­та в пункт . На сколь­ко ки­ло­мет­ров в час ско­рость ав­то­мо­би­ля боль­ше ско­ро­сти ав­то­бу­са?

Ре­ше­ние.

Ав­то­бус про­ехал 240 км за 5 часов. Таким об­ра­зом, его ско­рость равна 48 км/ч. Ав­то­мо­биль про­ехал это же рас­сто­я­ние за 3 часа со ско­ро­стью 80 км/ч. Таким об­ра­зом, ско­рость ав­то­мо­би­ля боль­ше ско­ро­сти ав­то­бу­са на 32 км/ч.

16. B 12 № 000. На мо­лоч­ном за­во­де па­ке­ты мо­ло­ка упа­ко­вы­ва­ют­ся по 12 штук в ко­роб­ку, причём в каж­дой ко­роб­ке все па­ке­ты оди­на­ко­вые. В пар­тии мо­ло­ка, от­прав­ля­е­мой в ма­га­зин «Уго­лок», ко­ро­бок с по­лу­то­ра­лит­ро­вы­ми па­ке­та­ми мо­ло­ка втрое мень­ше, чем ко­ро­бок с лит­ро­вы­ми па­ке­та­ми. Сколь­ко лит­ров мо­ло­ка в этой пар­тии, если ко­ро­бок с лит­ро­вы­ми па­ке­та­ми мо­ло­ка 45?

Ре­ше­ние.

Найдём ко­ли­че­ство ко­ро­бок с по­лу­то­ра­лит­ро­вы­ми па­ке­та­ми мо­ло­ка: 45 : 3 = 15. Те­перь рас­счи­та­ем ко­ли­че­ство лит­ров мо­ло­ка в этой пар­тии: 45 · 12 · 1 + 15 · 12 · 1,5 = 810 л.

Ответ: 810.

17. B 13 № 000. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 15 м от земли. Рас­сто­я­ние от ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле равно 8 м. Най­ди­те длину троса.

Ре­ше­ние.

За­да­чу можно све­сти к на­хож­де­нию ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра её длина равна

Ответ: 17.

18. B 14 № 000. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 12 млн поль­зо­ва­те­лей.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Ка­зах­ста­на.

2) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии вдвое боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны.

3) При­мер­но треть поль­зо­ва­те­лей — не из Рос­сии.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си более 3 млн че­ло­век.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние:

1) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны боль­ше чем поль­зо­ва­те­лей из "дру­гих стран", а зна­чит, и боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Ка­зах­ста­на. Пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Из диа­грам­мы видно, что число поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем в два раза пре­вы­ша­ет число поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны. Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей не из Рос­сии при­мер­но треть от об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

4) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си боль­ше, чем чет­верть от об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Всего поль­зо­ва­те­лей 12 млн, зна­чит поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны и Бе­ла­ру­си более 4 млн. Четвёртое утвер­жде­ние верно.

Ответ: 2.

19. B 15 № 000. Фирма «Вспыш­ка» из­го­тав­ли­ва­ет фо­на­ри­ки. Ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный фо­на­рик из пар­тии бра­ко­ван­ный, равна 0,02. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что два слу­чай­но вы­бран­ных из одной пар­тии фо­на­ри­ка ока­жут­ся не­бра­ко­ван­ны­ми?

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что один слу­чай­но вы­бран­ный из пар­тии фо­на­рик — не­бра­ко­ван­ный, со­став­ля­ет 1 − 0,02=0,98. Ве­ро­ят­ность того, что мы вы­бе­рем од­но­вре­мен­но два не­бра­ко­ван­ных фо­на­ри­ка равна 0,98 · 0,98 = 0,9604.

22. C 2 № 000. Бис­сек­три­сы углов A и D па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, ле­жа­щей на сто­ро­не BC. Най­ди­те AB, если BC = 34.

Ре­ше­ние.

По опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма — се­ку­щая при па­рал­лель­ных пря­мых, сле­до­ва­тель­но, углы и равны как на­крест ле­жа­щие. По­сколь­ку тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да Ана­ло­гич­но, тре­уголь­ник — рав­но­бед­рен­ный и Сто­ро­ны и равны, как про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма, сле­до­ва­тель­но:

Ответ: 17.

23. C 3 № 000. Из А в В од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ли­ста. Пер­вый про­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью весь путь. Вто­рой про­ехал первую по­ло­ви­ну пути со ско­ро­стью, мень­шей ско­ро­сти пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста на 11 км/ч, а вто­рую по­ло­ви­ну пути про­ехал со ско­ро­стью 66 км/ч, в ре­зуль­та­те чего при­был в В од­но­вре­мен­но с пер­вым ав­то­мо­би­ли­стом. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста, если из­вест­но, что она боль­ше 40 км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть — рас­сто­я­ние между A и В, км/ч — ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста, тогда км/ч — ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ли­ста на пер­вой по­ло­ви­не пути,. Пер­вый ав­то­мо­би­лист про­де­лал весь путь за часов, а вто­рой за часов. Время, за ко­то­рое они про­еха­ли весь путь от A до B оди­на­ко­во, сле­до­ва­тель­но, можно со­ста­вить урав­не­ние:

По усло­вию за­да­чи ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста боль­ше 40 км/ч, сле­до­ва­тель­но, ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста равна 44 км/ч.

Ответ: 44.

24. C 4 № 000. Точка E — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны AB тра­пе­ции ABCD. До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ECD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Про­ведём по­стро­е­ния и введём обо­зна­че­ния как ука­за­но на ри­сун­ке. Про­ведём па­рал­лель­но По­сколь­ку и по тео­ре­ме Фал­ле­са по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но, — сред­няя линия. Пусть — длина вы­со­ты тра­пе­ции. Пло­щадь тра­пе­ции равна:

От­ку­да по­лу­ча­ем, что

25. C 5 № 000. По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно две общие точки.

Ре­ше­ние.

Упро­стим вы­ра­же­ние:

Таким об­ра­зом, по­лу­чи­ли, что гра­фик нашей функ­ции сво­дит­ся к гра­фи­ку функ­ции с вы­ко­ло­тыми точ­ками и По­стро­им гра­фик функ­ции (см. ри­су­нок).

Этот гра­фик изоб­ражён на ри­сун­ке:

Из гра­фи­ка видно, что пря­мая имеет с гра­фи­ком функ­ции ровно две общие точки при при­над­ле­жа­щем про­ме­жут­ку

Ответ: