Лекция 8.
Тема: Логика высказываний.
Основные проблемы:
1. Общая характеристика высказывания как предмета логики.
2. Логические операции. Таблицы истинности высказываний.
3. Логические отношения. Эквивалентность.
В современной формальной логике высказывание – это любое предложение какого-либо языка, содержание которого можно оценивать как истинное или ложное. Высказывание – это смысл и содержание конкретного предложения нашего языка (речи).
Высказывание всегда будет истинным или ложным в зависимости от того, является ли оно адекватным отражением объективных фактов и связей в самой действительности или нет.
В символической логике с истинным высказыванием сопоставляется символ «И» или «Т», или «1» - «истина»; с ложным высказыванием – символ «Л» или «F», или «0». Эти символы образуют значение истинности того или иного высказывания.
Вместо утверждения «высказывание А истинно» можно говорить «высказывание А имеет истинное значение истинности», а вместо утверждения «высказывание А ложно» можно говорить «высказывание А имеет ложное значение истинности». Соответственно, любое конкретное высказывание о фактах бытия не должно быть истинны и ложным одновременно. В этом состоит смысл двузначной логики.
В естественных языках высказывания выражаются повествовательными предложениями, при этом одно и то же высказывание может быть выражено разными предложениями.
Вопросительные и восклицательные предложения, как правило, не рассматриваются в логике в качестве высказываний, потому, что о их содержании (вопросы, просьбы, приказания, призывы и сожаления и т. д.) нельзя непосредственно судить с точки зрения значения их истинности.
Содержание повествовательного предложения или высказывания, например, «В парке произошло убийство» автоматически не приводит к определению значения истинности соответствующего высказывания. Для этого необходимо ещё указание не ситуацию (точное время и место совершенного преступления), которая прояснит смысл данного высказывания. Поэтому нужно говорить, что данное высказывание истинно или ложно, при соответствующих условиях и в такой-то ситуации.
Предложение «x > 2y» не является ни вопросительным, ни восклицательным, но о нём нельзя говорить истинно оно или ложно до тех пор, пока на места переменных «x» и «y» не будет поставлены определённые числа или не будит каким то образом указано на условие истинности или ложности данного неравенства. Подобного рода предложения в логике называются пропозициональными функциями (или функциями высказываний).
2. Логические операции. Таблицы истинности высказываний.
Высказывания являются основными объектами того раздела логики, который называется логикой высказываний. Основная проблематика логики высказываний – это образование сложных высказываний.
Высказывание, которое содержит в качестве своих правильных частей другие высказывания, называется сложным. Нерасчлененное называется простым.
В логике высказываний не рассматривается внутренняя структура элементарных высказываний, в частности, расчленение на субъект и предикат. Поэтому простые высказывания здесь называют атомарными или атомами (в буквальном смысле слова), а сложные – молекулярными или молекулами (по аналогии с химией).
Логика высказываний отвлекается также и от смыслового содержания высказывания (конкретного смысла предложения), полагая при этом, что любое высказывание (как атом так и молекула) может иметь лишь два значения истинности – «истина» и «ложь». Сама проблема установления значения истинности атомарных высказываний (включая и способы такого установления) не входит в компетенцию логики высказываний. В ней лишь полагается, что каждое высказывание имеет значение истинности.
Таким образом, значение «истина» и «ложь» выступают как некоторые абстрактные объекты, которые ставятся в соответствие каждому высказыванию. В логике высказываний сами высказывания обозначаются большими латинскими буквами – А, В, С, ….,x, y,z, …. или буквой с индексом – А(1), А(2), …., А(n). Иногда вводят специальные обозначения для собственно атомарных высказываний.
Логику высказываний интересует прежде всего две проблемы – как из атомарных высказываний образуются молекулярные и как зависит значение истинности молекулы от значений истинности атомов, которые её составляют. Молекулярные высказывания образуются из атомарных с помощью пропозициональных связок (конъюнкция, дизъюнкция, импликация, и отрицание) о которых мы говорили выше.
Образование новых высказываний из исходных посредством логических союзов называют логическими операциями. Каждый логический союз (соответственно логическая операция) определяются так, что значение истинности молекулярного высказывания, порождённого этим союзом, зависит только от значений истинности составляющих его атомарных высказываний, а не от их содержания и смысловой характеристики получившегося высказывания.
Результаты значений истинности для молекулярных высказываний в логике принято давать в виде таблиц истинности (матриц), в которых записываются значения истинности молекулы при всех возможных комбинациях значений истинности составляющих её атомов.
Рассмотрим основные логические операции:
1. Конъюнкция. Конъюнкцией высказываний А & В (читается А и В), которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба эти высказывания.
Этому определению соответствует таблица:
A / B // A & B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
2. Дизъюнкция. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А v В (читается А или В), которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из этих высказываний.
Этому определению соответствует таблица:
A / B // A v B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Дизъюнкцию называют ещё логической суммой, так как союз «или» употребляется в неразделительном смысле.
Сильной дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А v В, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно лишь одно из высказываний – либо А, либо В.
Определению этой таблицы соответствует таблица:
A / B // A v B
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
3. Импликация. Импликацией высказываний А и В называется высказывание А → В (читается – если А то В), которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В – ложно.
Определению импликации соответствует таблица:
A / B // A → B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
В импликации А → В первый элемент А называется антецедентом (от лат. – предшествующий), а второй элемент В – консеквентом (от лат. последующий).
4. Двойная импликация. Двойной импликацией (эквиваленцией) высказываний А и В называется высказывание А <--> В (читается так: «если и только если А, то В»), которое истинно тогда и только тогда, когда А и В оба одновременно истинны или оба одновременно ложны.
Этому определению соответствует таблица:
A / B // A <--> B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
5. Отрицание. Отрицанием высказывания А называется высказыванием не – А, которое истинно, когда А – ложно, и ложно, когда А – истинно.
Этому определению соответствует таблица:
A // не – А
1 0
0 1
Переводя выражение обычного языка с помощью табличных логических союзов, мы лишаемся некоторых оттенков смысла, но зато выигрываем в точности, которая необходима для того, чтобы избежать двусмысленностей и иметь потом возможность анализировать наши рассуждения.
3. Логические отношения. Эквивалентность.
Среди формул логики высказываний есть такие, которые называются тавтологиями. Это такие формулы, которые принимают значение «истина» при всех наборах значений истинности входящих в них переменных. Тавтологии играют в логике особую роль, ибо они выражают логическую структуру таких высказываний, которые истинны в силу только этой своей структуры.
В логике высказываний анализируются различные отношения между двумя и более сложными высказываниями.
Определим одно очень важное из таких отношений – отношение эквивалентности: две формулы «F1» и «F2» эквивалентны тогда и только тогда, когда их двойная импликация (F(1) <--> F(2)) - тавтология.
Для обозначения отношения эквивалентности применяется знак тождества или обычный знак равенства. Проверку эквивалентности двух сложных высказываний удобно осуществлять при помощи таблиц истинности. Если они одинаковы, то соответствующие высказывания эквивалентны.
Итак, эквивалентность есть отношение между формулами и между соответствующими им высказываниями (подобно тому, как равенство – это отношение между числами), которое определено как всегда истинная двойная импликация данных пар формул.
Возможность одного и того же высказывания эквивалентными формулами отражает возможность выражения одной и той же мысли с помощью высказываний различной логической структуры. Поэтому отношение эквивалентности позволяет, в частности, выражать одни логические операции через другие.
