Клуб интеллектуальных игр лицея № 000 «Радикал»

Открытый Кубок лицея № 000 по математике. 2015-2016 учебный год. Старшая лига  (10-11 класс). Математическая игра «Домино».  2016. Задания и решения.

Информация о математических играх и олимпиадах размещена на сайте

0-0. Найдите б.   (42°=(180°-27°∙2-21°∙2)/2. Точка О – центр пересечения биссектрис.)

0-1. Дворник работает по вторникам, пятницам и нечетным числам. Какое наи­большее количество дней подряд он может работать? (6. Подходит пример: 29,30,31,1,2,3 и 30 число выпадает на  вторник.)  0-2. В некотором доме на каждом этаже в подъезде одна квартира. Известно, что 28 квартира находится в 3 подъезде, а  61 квартира – в пятом. В каком подъезде находится 103 квартира? (В восьмом.)

0-3. Числа а, в,с, d,е – положительны. Известно, что ав=2, вс=3, сd=4, de=5. Чему равно е/а?  (15/8. е/а=(de/ab)∙(bc/cd)=(5/2)∙(3/4).)  0-4. Пусть f (x) – это меньшее из чисел 2х и 6 – х. Какое самое большое значение принимает величина f (x) ? (4. Функция g(x)=2х возрастающая, а d(x)=6-х убывающая, поэтому максимум  f(x) достигается при равенстве g(x)=d(x).)  0-5. Расставьте в квадрате 4×4 короля, 2-х ладей и 2-х слонов так, чтобы ни одна из этих фигур не била ни одну другую.  (см. один из возможных случаев на рис.) 

0-6. Центры непересекающихся окружностей радиуса 2 расположены в вершинах треугольника. Какова сумма площадей трех закрашенных секторов?

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(.Площадь сектора с углом б равна  . Так как окружности равного радиуса, и сумма углов в треугольнике 180°, сумма площадей равна  .)  1-1. Города A, B и C вместе с соединяющими их прямыми дорогами образуют треугольник. Известно, что прямой путь из A в B на 200 км короче объезда через C, а прямой путь из A в C на 300 км короче объезда через B. Найдите расстояние между городами B и C. (250 км. Составим систему уравнений где а, b  и с - стороны ВС, АС, АВ соответственно. Сложив 2 равенства, вычтя сумму (b+c) из каждой части, получим  ).  1-2. График какой линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным 3? (у=х+3.)  1-3. Найдите наибольшее десятизначное число, в котором произведение любых двух подряд идущих цифр делится на 2. (9898989898.)  1-4. Петя едет на своем велосипеде из точки P в точку Q с постоянной скоростью. Если бы он увеличил скорость на 3 м/с, он доехал бы до Q в три раза быстрее. Во сколько раз быстрее он доехал бы до Q, увеличив скорость на 6 м/с? (В 5 раз. Если скорость Пети х км/ч, то выполняется условие =; х=1,5. =.)  1-5. На острове считается, что лжецы  принадлежат к низшему рангу, заезжие туристы (которые могут как лгать, так и говорить правду)  – к среднему рангу, а  рыцари (которые всегда говорят только правду) – к высшему рангу. Двое людей A и B высказывают утверждения: A: «По рангу я ниже, чем B». B: «Неправда!» Определите ранг А и B (или напишите, для кого определить невозможно) (А и В заезжие туристы.)  1-6. На какую наибольшую степень двойки гарантированно делится число  n12 – n8 – n4 + 1 при всех нечётных натуральных n? (На девятую. n12–n8–n4+1=(n8–1)(n4–1)=(n4–1)2(n4+1)=(n2–1)2(n2+1)2(n4+1). Число (n2–1)  делится на 8 (как произведение двух последовательных чётных чисел). Остальные множители чётны. Поэтому произведение делится на  82⋅23 = 29. При n=3 данное число делится только на 29.)

2-2. В двух треугольниках, остроугольном и тупоугольном, измерили углы. Вот величины четырех из них: 110є, 75є, 65є, 15є. Чему равен меньший угол остроугольного треугольника? (40°.)  2-3. На чертеже изображены графики функций у=2хІ+bx+c и у=х+1. Найдите b. (3. График линейной функции пересекает ось абсцисс в точке (-1), а ось ординат - в точке с координатой 1,тогда с=1. Подставляя с=1 и х=-1 в квадратное уравнение, находим b.)  2-4. Решите систему:    . (Все такие пары (a;b), где a=b. Вычтем из первого уравнения второе: a-b=bІ-aІ=(-1)(b+a)(a-b). Либо a=b, либо b+a=-1, но тогда хотя бы одно число отрицательно и меньше любого точного квадрата.)  2-5.  Найдите наибольший общий делитель всех четырёхзначных чисел, записанных при помощи цифр 3,4,5,6. (9.)  2-6. В равнобедренной трапеции  ABCD точка Х — середина боковой стороны АВ, BX=1, угол CXD=90◦. Найдите пери­метр этой трапеции. (6. Проведём среднюю линию ХУ. Она будет медианой в прямоугольном треугольнике СХD  и равна половине гипотенузы, а также полусумме оснований трапеции.)  3-3. В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений были полностью свободными, а когда сидело 10 человек, то свободными были 6 сидений. Сколько сидений в автобусе? (16. В первом случае в автобусе должно было находиться как минимум 16 сидений (все 13 человек сидят на двухместных сидениях), а во втором – как максимум 16 сидений (все 10 человек сидят на одноместных сидениях.)  3-4. .  Найдите целое число x.  (4.)  3-5. Сколькими способами можно составить букет из фиалок, васильков и ромашек, если общее количество цветов - 7, и  каждый вид цветов должен быть в букете? (15. Задачу сформулируем так: «сколько решений в натуральных числах имеет уравнение х+у+z=7?» Представим, что есть 7 шаров, между ними нужно вставить перегородки, разделив на 3 части (т. е. потребуется 2 перегородки). Каждая часть должна содержать хотя бы 1 шар, поэтому мы имеем 6 промежутков, куда мы можем поставить перегородки. Количество решений будет равно числу сочетаний из 6 по 2. Метод шаров и перегородок.)

  3-6. CD - медиана треугольника ABC. Окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD в точках M и N. Найдите MN, если AC - BC = 2. (1. Сравнивая периметры треугольников АСD и ВСD, получаем что периметр первого больше периметра второго на 2MN или на разницу (АС-ВС)).