Замена платежей и консолидация
На практике иногда приходится изменять условия ранее заключенного финансового соглашения. В результате изменений условий контракта ни один из его участников не должен терпеть убытков или получить дополнительную прибыль, поэтому в таких ситуациях составляется уравнение эквивалентности.
Два платежа считаются эквивалентными, приведенные к одному моменту времени, они одинаковы.
Задача 1. Выясните, являются ли равноценными два обязательства, если по одному из них должно быть выплачено 2 млн. рублей через 2 года, а по второму – 2,5 млн. рублей через 3 года. Для сравнения применить процентную ставку 15% годовых.
Приведем оба платежа к началу операции с помощью операции дисконтирования.
Современные стоимости платежей не равны, следовательно, они не эквивалентны
Замена платежей
Задача 2. Согласно новому финансовому соглашению платеж в 100000 руб. со сроком уплаты через 1 год заменяется платежом со сроками уплаты 1) через полгода;
2) через два года. Определить величину нового платежа, если используется простая ставка 20 % годовых.
Решение
1) Так как срок нового платежа меньше года, то его величина — это дисконтированная стоимость 100000 руб., срок дисконтирования — 0,5 года, поэтому величина нового платежа равна:
100 000 / (1 + 0,5 ·0,2) = 90 909 руб.
2) Так как срок нового платежа больше года, то его величина — это будущая стоимость 100000 руб., наращение происходит один год по ставке 20 % годовых, поэтому величина нового платежа равна:
100 000 · (1+1·0,2)= 120 000 руб.
Если контракты включает несколько платежей, то они считаются эквивалентным, если суммы платежей по ним, приведенные к одной дате, одинаковы. Для краткосрочных контрактов процесс приведения осуществляется, как правило, на основе простых ставок, для среднесрочных и долгосрочных - по ставке сложного процента. При применении метода приведения следует, прежде всего, выбрать базовый момент времени, т. е. момент к которому предполагается приведение всех сумм в расчете.
Дисконтирование применяется, если необходимо привести платежи к более ранней дате, наращение – когда базовый момент времени относится к будущему.
Задача 3.
Платежи в 6000, 4000 и 10000 руб. должны быть погашены соответственно через 90, 150 и 270 дней. Кредитор и должник согласились изменить условия контракта: платеж 5000 и 8000 руб. должны быть погашены через 120, 180 дней, а третий платеж через 250 дней. Определить величину третьего платежа, чтоб измененный контракт был эквивалентен первоначальному.
Выберем в качестве базового момента - срок третьего платежа по новому контракту: 250 дней от начала контракта.
120 180 S3 270
90 150 250
Первый и второй платеж первоначального контракта нарастим по ставке простого процента на дату – 250 дней от начала операции, а третий платеж дисконтируем на эту дату.
Для составления уравнения эквивалентности проведем наращение первого и второго платежей по измененному контракту на дату уплаты третьего платежа– 250 дней от начала операции:
Консолидация платежей ( объединение)
При консолидации платежей возникают две задачи:
1) определение величины консолидированного платежа при известном сроке, когда этот платеж должен быть сделан;
2) определение срока известного консолидированного платежа.
Обе задачи решаются с использованием уравнения эквивалентности контрактов.
Рассмотрим первый тип задач.
Задача 4. Платежи в 6000, 4000 и 10000 руб. должны быть погашены соответственно через 90, 165 и 270 дней. Кредитор и должник согласились заменить три платежа одним через 120 дней. Найти величину консолидированного платежа, если используется простая процентная ставка 38% годовых и в расчет принимаются обыкновенные проценты.
Решение
Приведем все платежи к моменту погашения консолидированного платежа, т. е. к 120 дням. Тогда на платеж в 6000 руб., срок погашения которого меньше 120 дней, будут начисляться простые проценты за период в 120-90=30 дней, платеж в 4000 руб. необходимо дисконтировать на срок в 165-120=45 руб., платеж в 10000 руб. необходимо дисконтировать на срок 270-120=150 дней.
Складывая суммы приведенных платежей, получим уравнение для определения величины консолидированного платежа:
поэтому Х=18642 руб.
Если бы за дату приведения выбрали время выплаты платежа в 6000 руб., то получили бы следующее уравнение:
,
откуда Х=18683 руб.
Приводя все платежи к начальному моменту времени, получим уравнение:
,
откуда Х=18780 руб.
Поэтому при выборе финансового соглашения в случае использования простых процентов необходимо оговорить дату, на которую будет осуществляться приведение всех сумм.
Задача
Согласно контракту предприниматель должен выплатить кредитору 100 000 руб. через год, 200 000 руб. через два года и 400 000 руб. через 3 года. Предприниматель планирует выплатить через 2 года 300 000 руб., оставшуюся сумму долга вернуть через 4 года. Какую сумму предприниматель должен будет выплатить через 4 года, если в расчетах используется сложная ставка 20% годовых?
Решение.
Изобразим схему выплат на графике. Под осью отметим платежи по старому соглашению, над осью – по новому контракту.
300 000 | х |
1 | 2 | 3 | 4 |
100 000 | 200 000 | 400 000 |
Величину неизвестного платежа находим из условия эквивалентности контрактов. Приведенные стоимости платежей по старому контракту необходимо приравнять к приведенным стоимостям потоков платежей по новому контракту и из полученного уравнения определить неизвестную величину нового платежа.
Х= 508 800 руб.
В случае сложных ставок результат не зависит от момента времени, для которого составляется уравнение эквивалентности контрактов. Действительно, если все платежи приводить к моменту окончания года 4, уравнение примет вид:
Разделив это обе части уравнения на 
, получим первоначально составленное уравнение.
Замена и консолидация векселей
При консолидации векселей в расчетах чаще всего используется
учетная ставка.
Задача. Два векселя номинальной стоимостью 20000 руб. и 30000 руб. и сроком погашения 1 июня и 1 сентября заменяются одним с продлением срока погашения до 1 октября. При объединении используется простая учетная ставка 10 % годовых. Определить номинальную стоимость нового векселя.
Решение
Поскольку срок погашения нового векселя позже, чем сроки погашения объединяемых векселей, то на сумму 20000 руб. в течение 122 дней (с 1 июня по 1 октября) происходит наращение капитала по простой учетной ставке 10 %; на сумму 30000 руб. в течение 30 дней (с 1 сентября по 1 октября) также происходит наращение капитала по простой учетной ставке 10 % годовых.
Так как наращение осуществляется по учетной ставке, то применяется антисипативный метод наращения капитала.
Номинальная стоимость нового векселя равна:
Задача. Два платежа 1000 руб. и 500 руб. со сроками уплатить соответственно 150 и 180 дней объединяются в один со сроком 201 дней. Пусть стороны согласились на применение простой ставки, равной 10% годовых. Найдите консолидированную сумму долга. К = 365.
Р е ш е н и е. Консолидированная сумма долга составит:
При объединении обязательств можно применить сложные ставки.
В этом случае уравнение эквивалентности имеет вид:
Задача Платежи в 1 000 руб. и 2 000 руб. со сроками уплаты два и три года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20%. Найдите сумму консолидированного платежа.
Решение. Сумма консолидированного платежа составит:
S0 = 1000 * 1,2 0,5 + 2000 * 1,2-0,5 = 2921,19 руб.
Определение срока выплаты консолидированного платежа
Случай 1.
Долг, состоящий из k платежей
, которые следует уплатить через время 
от начала контракта решено заменить одним платежом 
равным сумме периодических платежей (
) . Определить время этого платежа. Используется ставка ссудного простого процента.
Обозначим срок нового платежа через 
. Составим уравнение эквивалентности:
Раскроем скобки
Сгруппируем данные:
Задача.
Предположим, что одно лицо несколько раз брало в долг деньги у другого лица. В настоящее время долг состоит из трех сумм: 100 руб., 200 руб. и 150 руб., которые по условию следует выплатить в рамках одного года соответственно 10 марта, 1 апреля и 10 июня. Предположим, что обе стороны договорились объединить три долга в один с общей суммой 450 руб. Как определить справедливый день уплаты этого консолидированного долга?
Следует выбрать дату начала отсчета и далее воспользоваться формулой определения срока платежа:
Решение. Выберем в качестве начала отсчета 28 февраля. Тогда дни уплаты долгов приходятся на 10, 31 и 102 дни от начала отсчета. Таким образом,
n1 = 10; n2 = 31; n3 = 102; S1 = 100; S2 = 200; S3 = 150; S0= 450.
Согласно формуле для расчета t получаем:
Таким образом, срок уплаты консолидированной суммы приходится на 50-й день от 28 февраля, т. е. на 19 апреля.
При решении этого примера мог возникнуть вопрос о выборе начальной даты. В качестве начала отсчета времени была выбрана дата 28 февраля. А что, если выбрать другую дату? Не сдвинется ли при этом срок уплаты консолидированной суммы?
Оказывается, нет, срок уплаты не сдвигается. Это следует из полученной выше формулы для расчета n0. Ведь при ее выводе никак не оговаривалось начало отсчета. Следовательно, результат от начала отсчета не зависит.
Проверим это на примере. Предположим, что в качестве начала выбрано не 28 февраля, а 31 декабря предыдущего года. Тогда относительно этой новой даты все сроки отодвигаются на 59 дней. Получаем: t1 = 69; t2 = 90; t3 = 161.
По формуле получаем:
Размеры платежей остаются прежними.
Таким образом, срок уплаты приходится на 113-й день от 31 декабря, т. е. по-прежнему на 19 апреля.
Случай 2.
Долг, состоящий из k платежей
, которые следует уплатить через время 
от начала контракта решено заменить одним платежом 
. Определить время этого платежа.
. Рассматривается ставка сложного ссудного процента r
Составим уравнение эквивалентности:
Здесь P0 – сумма платежей, дисконтированных на начало контракта
Задача. Три платежа: 100 тыс. руб. (срок 4 месяца), 200 тыс. руб. (срок 5 месяцев) и 200 тыс. руб. (срок 8 месяцев) заменяются одним платежом 500 тыс. руб. Определить срок уплаты этого объединенного платежа при месячной ставке сложного процента, равной 5%.
Воспользуемся формулой *.
Найдем сумму дисконтированных на начало периодических платежей.
мес.
Заметим, что при увеличении суммы платежа срок уплаты отодвигается. При ее уменьшении срок приближается. Если сумма, выбранная для уплаты, слишком мала, то по результатам расчетов может оказаться, что срок уплаты уже прошел. Для такой суммы реализовать платеж с соблюдением условия финансовой эквивалентности окажется невозможным.
Случай 3. Долг, состоящий из k платежей
, которые следует уплатить через время 
от начала контракта решено заменить одним платежом 
. Определить время этого платежа n0
. Рассматривается ставка простого ссудного процента r.
Составим уравнение эквивалентности. Для этого дисконтируем все платежи на начало контракта.
Задача. Три платежа: 100 тыс. руб. (срок 4 месяца), 200 тыс. руб. (срок 5 месяцев) и 200 тыс. руб. (срок 8 месяцев) заменяются одним платежом 500 тыс. руб. Определить срок уплаты этого объединенного платежа при ставке простого процента, равной 5% в месяц
Дисконтируем все платежи на начало операции:
386,2
Вопросы
Что означает консолидация платежей? Верно ли утверждение: при сравнении платежей их приведение к одному моменту времени может осуществляться как путем наращения, так и путем дисконтирования? При изменении сроков платежей в каком случае новый платеж будет больше старого платежа, а каком случае меньше? Какие контракты являются эквивалентными? Какие задачи могут возникать при консолидации платежей?
Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1. Три платежа: 120 тыс. руб. (срок 3 месяца), 220 тыс. руб. (срок 6 месяцев) и 180 тыс. руб. (срок 9 месяцев) заменяются одним платежом 520 тыс. руб. Определить срок уплаты этого объединенного платежа при месячной ставке сложного процента, равной 4%.
Задание 2. Внесем в условия предыдущего примера одно изменение. Предположим, что общий платеж имеет величину не 520 тыс. руб., а 550 тыс. руб. Требуется рассчитать срок уплаты для этой новой суммы.
Задание 3. Земщик несколько раз брал в долг деньги у одного и того же субъекта. В настоящее время долг состоит из четырех сумм: 120 руб., 210 руб., 250 руб. и 150 руб., которые по условию следует выплатить в рамках одного года соответственно 1 марта, 10 апреля, 15 мая и 10 июня.
Обе стороны договорились объединить четыре долга в один с общей суммой. Как определить справедливый день уплаты этого консолидированного долга?
Задание 4. Земщик несколько раз брал в долг деньги у одного и того же субъекта. В настоящее время долг состоит из четырех сумм: 120 руб., 210 руб., 250 руб. и 150 руб., которые по условию следует выплатить в рамках одного года соответственно 1 марта, 10 апреля, 15 мая и 10 июня.
Обе стороны договорились объединить четыре долга в один с общей суммой. Как определить справедливый день уплаты этого консолидированного долга?
Задание 5. Долг в размере 100 тыс. руб. должен быть погашен через 5 месяцев в сумме, определяемой начислением по 5%-ной сложной месячной ставке. Обе стороны согласились пересмотреть соглашение. Обязательство будет погашено следующим образом. Через 3 месяца будет уплачено 40 тыс. руб., а еще через 3 месяца – оставшаяся часть долга. Следует определить размер последнего платежа
