Уравнения Лагранжа первого рода

Пример 1. ()

Уравнения Лагранжа первого рода.

Две весомые материальные точки М1 и М2 с массами и соединены невесомым стержнем длины l. Система может двигаться в вертикальной плоскости и так, что скорость середины стержня направлена вдоль стержня. Определить движение точек М1 и М2.

Уравнения связей таковы:

  (1.1)

Уравнения Лагранжа с неопределёнными множителями имеют вид

  (1.2)  и

  (1.3)  Из уравнений (1.2) с учётом первого из уравнений (1.1) определим л и м:

  (1.4)  Из уравнений (1.3) также выразим л и м:

  (1.5)  Приравнивая выражения для л и м и полагая для простоты , получаем:

  (1.6)  Введём обозначения:

  (1.7)  Тогда уравнения (1,1) и (1.6) перепишутся так:

  (1.8)  Полагая из первых двух уравнений

  (1.9) 

,

,

откуда .

Из третьего равенства (1.8) имеем:

  (1.10)  и таким образом

  В силу равенств (1.9) и (1.10), имеем:

  В результате интегрирования получаем

  Окончательно имеем:

  Здесь и – произвольные постоянные.

Пример 2

Уравнения Аппеля.

Энергия ускорений твёрдого тела, закреплённого в центре масс, может быть представлена в форме

Здесь многоточием обозначены слагаемые, не зависящие от . Обозначив , рассмотрим отдельные слагаемые.

.  Тогда

,  где  J – тензор инерции относительно центра масс. Считая, что он задан в главных осях, получаем  . В дальнейшем будем полагать   и соответственно , так что

    Рассмотрим теперь отдельно произведение

  Поэтому

  и таким образом

  С учётом сделанных выше обозначений, имеем

  В результате получаем

  Что касается обобщённых сил, мы можем считать . Поскольку система склерономна, и , где  L – момент относительно центра масс внешних сил, приложенных к телу. Таким образом,

  Уравнения движения тела таковы:

  Эти уравнения, называемые уравнениями Эйлера, мы получали в теоретической механике.

Пример 3

Построим уравнения движения из примера 1 как уравнения Аппеля.

В качестве обобщённых координат вводим – координаты центра стержня и угол его поворота относительно горизонтальной оси. Уравнение неголономной связи в этих координатах

или  

 

Энергия ускорений

Квазискорости : и ; 

Для определения обобщённых сил выпишем работу внешних сил на возможном перемещении: . Таким образом,

Уравнения Аппеля:

.  Интегрируя, имеем:

Пример 4

Составление уравнений движения непрерывных систем

Рассматривается упругая балка, положение которой нельзя задать конечным числом параметров. Пусть – смещение точки балки, – материальная координата точки. Потребуем, чтобы действие удовлетворяло принципу Гамильтона. Кинетическая энергия балки определяется выражением

,  (3.1)  а потенциальная энергия – выражением

.  (3.2)  Здесь а . Функция Лагранжа записывается в виде

.  (3.3)  Величина называется плотностью лагранжиана; – действие по Гамильтону. Считаем, что балка совершает малые колебания относительно положения равновесия и

,  (3.4)  где – истинное движение, . Заметим, что в формуле (3.4) можно при необходимости менять порядок интегрирования. Рассмотрим интеграл

.  Поскольку постольку .

.  В результате имеем

.  (3.5)  Если есть ещё какие-либо нагрузки – распределённая нагрузка , силы на правом и левом конце балки и , моменты и , тогда мы будем использовать принцип Гамильтона-Остроградского в форме

  где .

Теперь уравнения балки принимают форму

  (3.6)

Внутри интервала вариацияпроизвольна, вариации , и независимы, следовательно

  ;  (3.7)

  (3.8)

Формула (3.7) – уравнение движения балки, а уравнения (3.8) служат для построения граничных условий. Если k-ый конец балки свободен, то вариации и отличны от 0 и поэтому

  (3.9)  Если k-ый конец балки шарнирно опёрт, то вариация равна 0 и . Вариация отлична от 0 и поэтому. В случае, если k-ый конец балки заделан, вариации и равны 0 и граничные условия таковы: и  

Пример 5

Колебания тяжёлой цепи.

Пусть а – материальная координата точки на нерастяжимой цепи;

  – проекции перемещения точки на оси координат х и у.

Тогда положение точки определяется выражениями

  (4.1) 

В силу нерастяжимости цепи Имеем , откуда

Сокращая на da и возводя в квадрат, получаем

.  Пренебрегая величиной , получаем

  (4.2)

Кинетическая энергия:

,  где с– погонная плотность, –элементарная масса, – длина цепи. Считая плотность постоянной и учитывая, что есть величина более высокого порядка малости, чем , имеем

  (4.3)

Найдём теперь положение центра масс цепи.

  (4.4)  В недеформированном состоянии центр масс цепи имеет координату и таким образом  поднимается центр масс на величину

  (4.5)  Потенциальная энергия цепи, таким образом, равна

,  (4.6)  а лагранжиан

  (4.7)

  Замечая, что , т. к. в граничных точках истинный и окольные пути совпадают, а также что , поскольку , получаем

  (4.8)  Из произвольности следует уравнение в частных производных

  (4.9)  Решение этого уравнения ищется в форме

– уравнение Бесселя с граничными условиями:

 

  ограничено  Решение этого уравнения

  причём – корни уравнения , а частоты  

Метод раскрытия частотного определителя.

Пусть задана система линейных дифференциальных уравнений

,  (1)  в которой q – n-мерный столбец, а А и С – матрицы размерности , и матрица А положительно определена. Обозначив преобразуем уравнение (1) к виду

  (2)  и введём дополнительную координату . Полагая где , получим:

  или    (3)  где D1 – первая строка матрицы D. Система (3) представляет собой систему n+1 однородных линейных алгебраических уравнений с n+1 неизвестными. Эта система имеет нетривиальное решение лишь при условии равенства нулю её определителя

  (4)  где – j –й элемент строки .

Сложив первый и второй столбцы определи, находим

откуда

  (5)

Введём определитель

  и величины – алгебраические дополнения первого столбца и соответствующей строки определителя . Тогда

.  обозначая , перепишем уравнение (5) в виде

.  (6)  Конечно, для составления уравнения (6) необходимо раскрыть n определителей n-1-го порядка, но это числовые определители и их раскрытие – вполне выполнимая задача.

утверждает, что так получается не характеристический, а минимальный многочлен матрицы А.

Пример 6.

Углы Эйлера

Имеется две системы координат, Ox0y0z0 и Ox1y1z1. Линию пересечения плоскостей x0y0 и x1y1 обозначим On, а её орт n. Угол между лучами Ox0 и On обозначим ш (угол прецессии), угол между осями Oz0 и Oz1 обозначим(угол нутации), а угол между лучами On и Ox1 ц (угол собственного вращения). Как нетрудно убедиться, переход от системы Ox0y0z0 к системе Ox1y1z1 может быть осуществлён путём трёх последовательных поворотов:

на угол ш вокруг оси Oz0, причём ось Ox0 занимает положение On; на угол вокруг оси On, причём ось Oz0 занимает положение Oz1; на угол ц вокруг оси Oz1, причём ось On занимает положение Ox1.

В результате таблица направляющих косинусов осей может быть построена в форме

x1	y1	z1
x0	cosш cosц– sinш cos sinц	– cosш sinц– sinш coscosц	sinш sin
y0	sinш cosц+ cosш cossinц	– sinш sinц+ cosш coscosц	– cosш sin
z0	sinsinц	sincosц	cos

При этом орт k1 оси Oz1 выражается через орты i0, j0 и k0

  k1= i0 sinш sin  – j0 cosш sin + k0 cos,

а орт k0 оси Oz0 выражается через орты i1, j1 и k1

  k0= i1 sinsinц + j1 sincosц + k1 cos.

Для того, чтобы выразить проекции угловых скоростей на оси обеих систем координат, нам необходимо ещё разложение орта n оси On по ортам осей обеих систем координат:

  n= i0 cosш + j0 sinш = i1 cosц – j1 sinц.

Поскольку результирующий поворот складывается из трёх указанных выше поворотов, угловая скорость системы Ox1y1z1 относительно системы Ox0y0z0 может быть представлена в форме:

 

Окончательно имеем:

Пример 7

Углы карданова подвеса.

Карданов подвес состоит из двух колец со взаимно перпендикулярными пересекающимися в совпадающих центрах колец осями вращения. Внутреннее кольцо выполнено в виде кожуха и несёт на себе подшипники, в которых вращается гироскоп. Пусть система координат Ox0y0z0 неподвижна, а система координат Ox1y1z1 подвижна и жёстко связана с гироскопом. Тогда переход от неподвижной системы координат к подвижной может быть осуществлён тремя последовательными поворотами:

1.на угол б вокруг оси Ox0, причём ось Oy0 занимает положение Om, а ось Oz0 –положение Ol;

2.на угол вокруг оси Om, причём ось Ol занимает положение Oz1 а ось Ox0 –положение On;

3.на угол ц вокруг оси Oz1, причём ось On занимает положение Ox1, а ось Om –положение Oy1.

В результате таблица направляющих косинусов осей может быть построена в форме

x1	y1	z1
x0
y0
z0

Этот же результат может быть получен перемножением матриц поворота:

Пример 8

Устойчивость линейных систем

а)

Характеристическая матрица системы

Было сделано 12 элементарных преобразований, не изменяющих абсолютного значения определителя.

Смена знака строки 1 Столбец 1=1-4*(2+л) Столбцы 2=2-4 и 3=3-4 Строка 3=1+3 Строка 4=4-1*(2-л) Столбец 4 на место столбца 1 Столбец 3=3+2*(1+л) Строка 3=3+2*(2- л) Строка 4=4-2*(1+ л2) Столбец 3=3+4*(л-1) Строка 3=3+4 Столбец 4 меняет знак и меняется местами со столбцом 3

Характеристическое уравнение может быть записано в форме

Это уравнение имеет корни л=0 и л=–1, оба кратности 2. При этом кратность корня л=–1 не имеет для суждения об устойчивости значения. При л=0 характеристическая матрица имеет дефект, равный 2. Поэтому система устойчива, хотя и не асимптотически.

б)

Характеристическая матрица системы