XVII Республиканская олимпиада имени

ЗАОЧНЫЙ  ТУР. МАТЕМАТИКА. 8 класс

Решения

1) Пусть число удовлетворяет условию задачи, т. е. +делится на 68, а следовательно делится на 4. Но поскольку 101=102-1; 20=17+3, то делится на 17. Т. к. ; ; - то второе условие выполняется в трех случаях: ; ;

В первом случае первое условие выполняется только при , что приводит к решениям: 173;272;371.

Во втором случае оно выполняется только при и дает решения: 349;448;547;646;745;844;943, а в третьем случае первое условие не выполняется ни при каких . Таким образом, условию задачи удовлетворяют 10 чисел.

2) Открыть оконце и поочередно подносить свечку к каждой из дверей, точнее к щели верхней, нижней, либо к замочной скважине и следить за пламенем свечи, где пламя начнет колебаться там и выход.

3) Ответ: Нельзя. Рассмотрим все возможные случаи, возникающие при переворачивании стаканов, отличая изменение числа правильно стоящих стаканов (- правильно стоящий стакан,- перевернутый стакан)

- уменьшается на 4.;
- уменьшается на 2;
- не меняется;
- увеличивается на 2;
- увеличивается на 4;

Итак, во всех случаях четность количества правильно стоящих стаканов не меняется. Значит, из 15(нечетного числа) правильно стоящих стаканов нельзя получить 16(четное число стаканов) правильно стоящих.

4) Ответ: Неверно. Рассмотрим произвольный АВС у которого АВВС и симметричный ему, относительно стороны АС . Середину их общей стороны АС обозначим М. Из того, что медиана делит треугольник на две равновеликие части, следует. Что четырехугольник АВСD и точка М удовлетворяют условию задачи, но при этом АВСD не является параллелограммом.

5) Построим на стороне ВС во внешнюю по отношению к АВС сторону правильный ВСК. Поскольку , то . Значит КВ=КМ=КС, т. е. К-центр описанной около треугольника ВМС окружности и , .

6) Выигрывает первый игрок. Выигрышная стратегия первого игрока. Вначале он выкладывает  на стол 0:0, второй отвечает 0:а, тогда I выкладывает кость а:а. Теперь II делает ход  либо 0:а, либо а:а. В первом  случае I выкладывает n:a, во втором – n:0. Тогда  после хода I игрока на концах цепочки будут 0 или а. Это же произойдет  после того, как на ход II игрока 0:m (a:m) I ответит m:a (m:0). Кости вида 0:n и a:n (n0,a) разбиваются на пары, поэтому последний ход останется за первым игроком.

7) Бегемот – травоядное животное, поэтому он рыбу не ел. Пусть гавиал (разновидность крокодила) съел рыб, а пеликан . Тогда кашалот съел рыб. Из неравенства 37>3 получаем . Составив уравнение и по очереди подставив в него значения =1;2;…12, находим ответ: гавиал съел 9 рыб, а пеликан 12.

8) Раскрасим таблицу в шахматном порядке. Затем в белые клетки впишем последовательно числа 1;2;…677, при этом слева, направо: сначала в первой строке, потом во второй, в третьей…

А числа от 678 до 1353 выпишем в черные клетки справа налево, начиная с последней строки и далее вверх.