Функциональные пространства

Приложение 4

       Рекомендовано МССН

ПРОГРАММА

Наименование дисциплины:  Функциональные пространства

Рекомендуется для направления подготовки

010100 «Математика»

(указываются код и наименования направления(ий)

подготовки (специальности (ей) и/или профилей (специализаций)

Квалификация (степень) выпускника бакалавр

(указывается квалификация (степень) выпускника в соответствии с ФГОС)

1. Цели и задачи дисциплины: основной целью курса является освоение студентами основ современной теории функциональных пространств и ее приложений к задачам современного математического и функционального анализа. Изучение основных интегральных неравенств и их применение. Обучение студентов основам теории приближения с помощью дифференцируемых функций.

2. Место дисциплины в структуре ООП: необходимы знания по алгебре, математическому анализу и основам функционального анализа.

Изложенные в рамках дисциплины знания используются в дисциплине «Современные проблемы математики», «нелинейный анализ и теория экстремальных задач»

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

(указываются в соответствии с ФГОС ВПО)

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: основные свойства пространств Лебега, основные интегральные неравенства теории функциональных пространств (Гельдера, Иенсена, Минковского, Харди и их обобщения для рядов и интегралов), критерии компактности множеств в пространствах Лебега, определения и основные свойства соболевских усреднений и их применение для  приближения функций из пространств Лебега с помощью гладких функций

____________________________________________________________________

Уметь: применять основные интегральные неравенства для решения задач об оценках норм в пространствах функций и последовательностей, норм операторов Харди и операторов усреднения, устанавливать точность соответствующих оценок, применять критерии компактности  ____________________________________________________________________

Владеть: _различными современными методами оценивания сумм и интегралов,  методами работы со смешанными нормами и нормами интегральных операторов пространствах Лебега. ___________________________________________________________________

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет ___________ зачетных единиц.

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
1	2	3	4
Аудиторные занятия (всего)	36	36
В том числе:
Лекции	36	36
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)	18	18
В том числе:
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды самостоятельной работы
Решение упражнений	10	10
Посещение консультаций преподавателя	8	8
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)	зачет	зачет
Общая трудоемкость  36  час   2  зач. ед.

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела
1.	Определение и общие свойства пространства	Обзор теории меры и интеграла Лебега. Определения пространств Лебега , их основные свойства.
2.	Неравенство Гельдера	Вывод неравенства Гельдера, его точность. Приложения неравенства Гельдера: вложения пространств Лебега на множествах конечной меры, мультипликативное неравенство, дискретное неравенство Гельдера.
3	Теория двойственности пространства	Вычисление нормы линейного функционала в пространстве  при . Отсутствие линейных непрерывных  функционалов в при
4.	Неравенство Минковского для конечных сумм	Неравенство Иенсена. Вывод неравенства Минковского при , его точность. Вывод неравенства Минковского при , его точность
5	Сходимость в пространстве	Определение сходимости в пространстве , ее связь со сходимостью почти всюду.
6	Полнота пространства	Понятие полного (квазибанахова) пространства. Доказательство теоремы Рисса –Фишера о полноте при . Доказательство теоремы Рисса –Фишера о полноте при .
7	Обобщенное неравенство Минковского для рядов	Доказательство обобщенного неравенства Минковского для рядов при . Доказательство обобщенного неравенства Минковского для рядов при .
8	Обобщенное неравенство Минковского для интегралов	Вывод обобщенного неравенства Минковского для интегралов. Его применение для оценки свертки. Оценка - нормы последовательности интегралов. Теорема о перестановке порядка в смешанной норме
9	Неравенство Харди	Вывод неравенства Харди. Неулучшаемость условий справедливости неравенства Харди. Точность постоянной в неравенстве Харди (вычисление нормы оператора Харди)
10	Непрерывность нормы  в пространстве относительно сдвига	Непрерывность меры Лебега относительно сдвига. Плотность ступенчатых функций в пространстве . Доказательство теоремы о непрерывности нормы.
11	Критерий компактности множества в пространстве	Понятие компактности множества в линейном нормированном пространстве. Вывод критерия компактности в пространстве .
12	Соболевские усреднения	Ядро усреднения. Общие свойства усреднения по Соболеву. Сходимость усреднений в к усредняемой функции. Плотность финитных бесконечно дифференцируемых функций в  для открытой области .

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспе-чиваемых (последую-щих) дисциплин	№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1.	Современные проблемы математики	-	+	+	-	+	+	-	+	+	+	+	+

5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекц.	Практ. зан.	Лаб. зан.	Семин	СРС	Все-го час.
1.	Определение и общие свойства пространства	4	2	6
2.	Неравенство Гельдера	4	1	5
3.	Теория двойственности пространства	4	1	5
4	Неравенство Минковского для конечных сумм	2	1	3
5	Сходимость в пространстве	4	1	5
6	Полнота пространства	2	1	3
7	Обобщенное неравенство Минковского для рядов	2	2
8	Обобщенное неравенство Минковского для интегралов	2	2
9	Неравенство Харди	4	1	5
10	Непрерывность нормы  в пространстве относительно сдвига	2	1	3
11	Критерий компактности множества в пространстве	2	1	3
12	Соболевские усреднения	2	2

6. Лабораторный практикум

№ п/п	№ раздела дисциплины	Наименование лабораторных работ	Трудо-емкость (час.)
1.
2.
3.

7. Практические занятия (семинары)

№ п/п	№ раздела дисциплины	Тематика практических занятий (семинаров)	Трудо-емкость (час.)
1.
2.
3.

8. Примерная тематика курсовых проектов (работ) отсутствуют

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература

1. . Курс математического анализа, т. 2. М.: Наука, 1973.

2. , . Элементы теории функций и функционального анализа. М.:

  Физматлит, 2006.

3. , . Мера и интеграл. М.: Факториал, 2002.

б) дополнительная литература

1.  . Функциональные пространства. Основные интегральные неравенства, связанные с пространствами . М.: РУДН, 1989.

2. , . Методические рекомендации к изучению курса «Функциональные пространства» , М.: РУДН, 1990.

в) программное обеспечение: не требуется

г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы: не требуются

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Вид задания	Число заданий	Кол-во баллов	Сумма баллов
1. Посещение занятий	17	1	17
2. Домашние задания	4	4	16
3. Работа на занятиях	17	1	17
4. Итоговый контроль	1	50	50
ИТОГО	100

Разработчики:

Профессор	Кафедра нелинейного анализа и оптимизации
Должность	Название кафедры	Инициалы, фамилия

Заведующий кафедрой нелинейного анализа и оптимизации                

                               название кафедры,                                                 инициалы, фамилия